Ensino Superior ⇒ Transformada de Laplace

[lorramrj]

Seja: [tex3]x(t) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.\delta (t-nT) [/tex3] para [tex3]T>0[/tex3].

Determine a Transformada de Laplace de x(t) e sua região de convergência.

[erihh3]

[tex3]L(x(t)) = L\left(\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.\delta (t-nT)\right) [/tex3]

Usando o fato que a transformada de laplace é uma transformação linear, tem-se:

[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.L(\left(\delta (t-nT)\right) [/tex3]

Sabendo que [tex3]L\left(\delta (t-t_0)\right)=e^{-st_0}[/tex3], pode-se dizer que

[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-nT}.e^{-snT} =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-(1+s)nT}[/tex3]

Vamos utilizar agora o método mais simples como critério de convergência: o da série geométrica. Ou seja, |q|<1.

No caso, [tex3]|e^{-(1+s)T}|<1[/tex3]

Daí,

[tex3](1+s)T>0[/tex3]

Como T é maior que 0, basta que

[tex3]1+s>0[/tex3]

[tex3]s>-1[/tex3]

Visto isso, a transformada de laplace de [tex3]x(t)[/tex3] não passará de uma soma de PG de razão [tex3]e^{-(1+s)T}[/tex3]. Portanto,

[tex3]L(x(t)) = \sum_{n=0}^{\infty}e^{-(1+s)nT}[/tex3]

[tex3]L(x(t)) = \frac{1}{1-e^{-(1+s)T}}[/tex3]