IME / ITA ⇒ (EEAR - 1984) Geometria Plana: Área de Figuras Planas Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Um retângulo [tex3]ABCD[/tex3] tem área igual a [tex3]2[/tex3] (dois) e os pontos [tex3]M \in AB[/tex3] e [tex3]N \in AD.[/tex3] Sabendo-se que [tex3]\overline{AM}+\overline{AN}=2\overline{AD}[/tex3] e [tex3]\overline{AB}=2\overline{AD},[/tex3] qual o maior valor da área do triângulo [tex3]AMN ?[/tex3]

a)[tex3]\frac{2}{3}.[/tex3]
b) [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{1}{4}.[/tex3]

Resposta:

---

b

[jgpret]

Boa Noite Aldrin!

Eis o que eu proponho:

Digamos que unindo os pontos [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] você produza um triângulo de base [tex3]\overline{AM}=b[/tex3] e altura [tex3]\overline{AN}=h[/tex3].

Primeiramente você sabe que [tex3]\overline{AM} + \overline{AN} = b + h = 2[/tex3] [tex3](Eq. 1)[/tex3]

E você deseja que o produto [tex3]S=\frac{\overline{AM} . \overline{AN}}{2}=\frac{ b . h}{2}[/tex3] [tex3](Eq. 2)[/tex3] seja máximo.

Portanto, isolando [tex3]b[/tex3] na [tex3]Eq. 1[/tex3], temos que: [tex3]b=2-h[/tex3]

Substituindo na [tex3]Eq. 2[/tex3] e sendo [tex3]S[/tex3] a área do triângulo:

[tex3]S=\frac{ b . h}{2} = \frac{ (2-h) . (h)}{2}= \frac{ 2h-h^2}{2} = h- \frac{h^2}{2}[/tex3]

Assim, é gerada uma função quadrática e se você calcular seu [tex3]h[/tex3] para que [tex3]S[/tex3] seja máximo, basta calcular se [tex3]h_v[/tex3], ou "h" do vértice.

Logo: [tex3]h_v=\frac{-b}{2a}= \frac{-1}{2(\frac{-1}{2})}=1[/tex3]

Assim o [tex3]h[/tex3] para que [tex3]S[/tex3] seja máximo é [tex3]1[/tex3]. Potanto, o [tex3]b[/tex3] para que [tex3]S[/tex3] seja máximo é [tex3]1[/tex3] também.

Portanto [tex3]S_{max}=\frac{1.1}{2}=\frac{1}{2}[/tex3]

Obs.: Gostaria de propor uma idéia interessante: Você sabia que toda vez que te dão uma adição e pedem o produto máximo as parcelas tem que ser iguais?
É interessante e dá pra provar de algumas formas. A mais legal é pela função quadrática (na minha opinião).