Demonstrações ⇒ Demonstração - Reta tangente é paralela à corda nos pontos médios dos arcos

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Teorema:
Dada uma circunferência [tex3]\Gamma[/tex3] e uma corda [tex3]AB[/tex3] da mesma então os únicos pontos de [tex3]\Gamma[/tex3] cujas retas tangentes são paralelas à corda [tex3]AB[/tex3] são os pontos médios [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] dos arcos [tex3]\widehat{AB}[/tex3].

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Seja [tex3]g[/tex3] a mediatriz de [tex3]AB[/tex3], como os triângulos [tex3]\Delta AMB[/tex3] e [tex3]\Delta ANB[/tex3] são isósceles com [tex3]\angle BAM = \angle ABM[/tex3] e [tex3]\angle BAN = \angle ABN[/tex3] então [tex3]AM= BM[/tex3] e [tex3]AN = BN[/tex3] logo [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] estão em [tex3]g[/tex3].
O centro [tex3]O[/tex3] de [tex3]\Gamma[/tex3] também está em [tex3]g[/tex3] pois [tex3]OA = OB = R[/tex3].
Como a reta tangente à [tex3]\Gamma[/tex3] por [tex3]M[/tex3]([tex3]N[/tex3]) é perpendicular à reta [tex3]OM[/tex3]([tex3]ON[/tex3]) que no caso é [tex3]g[/tex3] e [tex3]g[/tex3] é também perpendicular à [tex3]AB[/tex3].Então a tangente por [tex3]M[/tex3]([tex3]N[/tex3]) é paralela à [tex3]AB[/tex3].

Suponha que exista um ponto [tex3]K[/tex3] em [tex3]\Gamma[/tex3] tal que a tangente por [tex3]K[/tex3] é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3]
então [tex3]OK[/tex3] é paralela à [tex3]OM[/tex3] já que [tex3]OK[/tex3] é perpendicular à tangente por [tex3]K[/tex3] que é paralela à tangente por [tex3]M[/tex3] que é perpendicular à [tex3]OM[/tex3].
Logo [tex3]OK[/tex3] e [tex3]OM[/tex3] são paralelas e ambas passam por [tex3]O[/tex3] portanto [tex3]O,K,M[/tex3] são alinhados e então só podemos ter [tex3]K=N[/tex3].
Logo os únicos dois pontos da circunferência com a tangente paralela à [tex3]AB[/tex3] são [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3].
Resultados análogos ocorrem para todas as cônicas.