Ensino Superior ⇒ Vetores ortogonais Tópico resolvido

[CAPITÃOVERDI]

3.Considere o espaço vetorial euclidiano [tex3]\mathbb{R}^{3}[/tex3] munido de uma base < [tex3]\vec{e_{1}}[/tex3], [tex3]\vec{e_{2}}[/tex3], [tex3]\vec{e_{3}}[/tex3] > tal que ||[tex3]\vec{e_{1}}[/tex3]|| = ||[tex3]\vec{e_{2}}[/tex3]|| = 1, ||[tex3]\vec{e_{3}}[/tex3]|| = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3], [tex3]\vec{e_{1}}[/tex3] e [tex3]\vec{e_{2}}[/tex3] são ortogonais entre si, assim como [tex3]\vec{e_{1}}[/tex3] e [tex3]\vec{e_{3}}[/tex3], e [tex3]\vec{e_{2}}[/tex3] faz um ângulo com [tex3]\vec{e_{3}}[/tex3] de [tex3]\frac{\pi }{4}[/tex3]. Considere os vetores [tex3]\vec{u} = \vec{e_{1}}[/tex3] + 2 [tex3]\vec{e_{3}}[/tex3], [tex3]\vec{v}[/tex3] = -4 [tex3]\vec{e_{1}}[/tex3] + 2 [tex3]\vec{e_{2}} + \vec{e_{3}} [/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] = -[tex3]\vec{e_{1}}[/tex3] + 2 [tex3]\vec{e_{2}} - \vec{e_{3}}[/tex3].

(a) Determine a norma de [tex3]\vec{u}[/tex3].

(b) Verifique se [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{v}[/tex3] são ortogonais.

(c) Determine a projeção do vector [tex3]\vec{v}[/tex3] sobre o vector [tex3]\vec{u}[/tex3].

(d) Determine a projeção do vector [tex3]\vec{v}[/tex3] sobre o vector [tex3]\vec{w}[/tex3].

(e) Determine um vector ortogonal a [tex3]\vec{w}[/tex3] que pertença ao subespaço gerado por [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3].

(f) Determine um vector ortogonal ao subespaço gerado por [tex3]\vec{u}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3].

[erihh3]

Em qual dos itens você esta em dúvida?

Nos dois últimos itens, basta achar um vetor em cada item porque vão existir infinitos que satisfazem a essas condições pedidas.

[CAPITÃOVERDI]

Todos. Todas as questoes eu fiz meio na duvida. A primeira deu raiz de 129, que e um resultado no minimo suspeito.

[erihh3]

Eu estou do celular aqui. Vou te passar a ideia de cada item. Se não conseguir resolver, me avise aqui que eu escreverei a noite.

a) use que [tex3]||u||^2=u\cdot u[/tex3]

b)verifique se [tex3]u\cdot v=0[/tex3]

c e d) utilize a formula de projeção de vetores.
Obs: se u e v forem ortogonais, você já pode dizer que a projeção de um no outro é 0. Você já vai ter verificado isso no item b

e) seja r o vetor resposta que satisfaz a essas condições. Escreva r como combinação linear de v e w. Depois disso, faca o produto interno de r e w para ver qual relação ele tem que satisfazer. Apos isso, escolha valores para as constantes da combinação linear para que você ache apenas uma resposta para o problema uma vez que existem infinitas.

f) faça [tex3]u\times w[/tex3] que você encontrará um único vetor satisfazendo isso. Existem infinitos, mas a questão só pede 1.


Como deu pra perceber, não existe gabarito fechado para as duas últimas. Basta que elas satisfaçam as relações impostas pelo problema.