Ensino Superior ⇒ Fluxo do campo vetorial Tópico resolvido

[Bianatriz]

Olá gente, estou com muita duvida na (ii) deste exercício onde é questionado o fluxo do campo vetorial. Alguém poderia me ajudar? Obrigado!!

O campo elétrico [tex3]\vec{E}_{Q}[/tex3] no ponto [tex3](x,\, y,\, z)\in\Re^3[/tex3] devido a uma carga pontual [tex3]Q>0[/tex3] localizada na origem de [tex3]\Re^3[/tex3] é dada pela seguinte expressão:

[tex3]\vec{E}_{Q}(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k})[/tex3],

onde a constante [tex3]\epsilon_0>0[/tex3] é a permissividade do vácuo.

i) Calcule [tex3]\operatorname{div}\vec{E}_{Q}[/tex3]

ii) Se o fluxo do campo vetorial [tex3]\vec{F}[/tex3] através da superfície [tex3]\Sigma[/tex3], denotado como [tex3]\phi _{\vec{F}(\Sigma)}[/tex3] é definido por

[tex3]\phi _{\vec{F}}(\Sigma)=\iint\limits_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}[/tex3]

Calcule [tex3]\phi _{\vec{E}_{Q}}{(\Sigma)}[/tex3], onde [tex3]\Sigma[/tex3] é a superfície que limita o sólido compreendido entre os planos [tex3]y=2[/tex3], [tex3]y=10[/tex3], [tex3]z=0[/tex3], [tex3]x=0[/tex3] e a esfera com centro em [tex3](0,2,0)[/tex3] e raio [tex3]R=15[/tex3], considere orientação positiva.

[erihh3]

A ideia é usar o resultado que você encontrou em i) para resolver o ii) uma vez que [tex3]F=Q.E_q[/tex3].

Use o teorema de Gauss para transforamar a integral de linha em uma integral tripla.

Daí, você chegará na seguinte integral:

[tex3]\phi_F=Q\int\int\int \bigtriangledown. \vec{E}_Q(x,y,z)dxdydz[/tex3]

Passando para coordernadas esféricas:

[tex3]\phi_F=Q\int\int\int \bigtriangledown. \vec{E}_Q(\rho,\phi,\theta)\rho^2\sen(\theta) d\rho \,d\phi\, d\theta[/tex3]

Estabelecendo os limites de integração

1)[tex3]\rho[/tex3] variará de 0 a 15
2)[tex3]\phi[/tex3] variará de 0 até [tex3]\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha =arctg\left(\frac{10-2}{\sqrt{15^2-8^2}} \right)=arctg\left(\frac{8}{\sqrt{161}}\right)[/tex3]

Esse ângulo [tex3]\alpha[/tex3] foi obtido a partir do triangulo formado pelo cateto oposto sendo a altura em que a esfera é seccionada no plano y e a hipotenusa que é o raio da esfera.

3)\theta variará de 0 até [tex3]2\pi[/tex3]

Com isso, tem-se:

[tex3]\phi_F=Q\int_0^{2\pi}\int_0^{\alpha}\int_0^{15} \bigtriangledown. \vec{E}_Q(\rho,\phi,\theta)\rho^2\sen(\theta) d\rho \,d\phi\, d\theta[/tex3]

Basta, agora, usar o valor obtido em i) que a questão estará completa. A integral ficará bem simples pois a única variável do divergente acabará sendo o rho.




Eu estou do celular. Se não conseguir resolver a integral, me avise aqui que eu completo a solução.

[erihh3]

Na verdade, [tex3]\phi[/tex3] varia de [tex3]\pi/2[/tex3] ate [tex3]\pi/2+\alpha [/tex3]. Agora que eu vi que em y é apenas da metade da esfera pra cima.

Saiu a questão?