Ensino Médio ⇒ Natureza de um triângulo - Iezzi Tópico resolvido

[Gwynbleidd]

Reconheça a natureza de um triângulo cujos lados são inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 5.

Resposta

---

Obtusângulo

[erihh3]

Você terá que analisar o ângulo que "enxerga" o maior lado, haja vista que ele será o maior ângulo.

Fazendo lei dos cossenos nesse ângulo que chamaremos de x, tem-se:

[tex3]\left(\frac{k}{2}\right)^2=\left(\frac{k}{4}\right)^2+\left(\frac{k}{3}\right)^2-2.\left(\frac{k}{3}\right).\left(\frac{k}{4}\right).\cos(x) [/tex3]; onde k é a constante de proporcionalidade

[tex3]\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2-2.\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{4}\right).\cos(x) [/tex3]

[tex3]\cos(x)=\frac{-\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2}{2.\left(\frac{1}{3}\right).\left(\frac{1}{4}\right)}\approx -0,46[/tex3]

Como [tex3]\cos(x)<0[/tex3], x está entre [tex3]\pi/2[/tex3] e [tex3]\pi[/tex3]. Portanto, o triângulo é obtusângulo.

[csmarceloMOD]

erihh3,

De onde você tirou essas medidas dos lados? Esses valores são inversamente proporcionais a 3, 4 e 5?

[erihh3]

é que eles se anulam na lei dos cossenos. Vou adicionar mais uma linha na resolução

[Gwynbleidd]

Não tem como resolver por:

[tex3]a^2=b^2+c^2 => retângulo\\a^2>b^2+c^2=>obtusângulo\\a^2 < b^2+c^2 => acutângulo[/tex3]?

[erihh3]

Tem sim. Veja que a analise é quase a mesma. Eu preferi fazer do jeito que eu coloquei aqui porque eu acho que é mais explicito. Se perceber, o que realmente importa é o sinal do cosseno mesmo. Eu não precisava calcular ele no fim das contas.

[csmarceloMOD]

é que eles se anulam na lei dos cossenos. Vou adicionar mais uma linha na resolução

Entendi! Mas, então, a medida de um dos lados deveria ser [tex3]\frac{k}{5}[/tex3], ao invés de [tex3]\frac{k}{2}[/tex3], não?

[erihh3]

é que eles se anulam na lei dos cossenos. Vou adicionar mais uma linha na resolução

Entendi! Mas, então, a medida de um dos lados deveria ser [tex3]\frac{k}{5}[/tex3], ao invés de [tex3]\frac{k}{2}[/tex3], não?

É veddade. Eu li rápido e acabei trocando o 2 pelo 5. A ideia será a mesma, mas tem que substituir o 2 pelo 5 e colocar o novo maior lado. No caso, o maior seria o 1/3.