Demonstrações ⇒ Pólos e Polares

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Parte 2: Inversão 2

Como vimos na parte 1, item [tex3]5[/tex3] a reta [tex3]T_1T_2[/tex3] é uma reta especial bem conveniente para invertermos um ponto em relação a um círculo.

Definição: Pólos e Polares
A reta [tex3]T_1T_2[/tex3] do ponto [tex3]A[/tex3] é dita polar de [tex3]A[/tex3] em relação ao círculo de inversão e [tex3]A[/tex3] é dito pólo da reta [tex3]T_1T_2[/tex3].

1 - A polar é a reta perpendicular a [tex3]OA[/tex3] que passa pelo inverso de [tex3]A[/tex3] em relação ao círculo de inversão.
2 - O pólo da reta [tex3]AB[/tex3] é o inverso do pé da perpendicular a [tex3]AB[/tex3] passando por [tex3]O[/tex3].
3 - Todo ponto, exceto o centro de inversão [tex3]O[/tex3] tem uma polar definida e toda linha não passando por [tex3]O[/tex3] tem um pólo.
4 - A polar de um ponto sobre a circunferência de inversão é a reta tangente ao círculo no mesmo ponto. O pólo de uma tangente ao círculo de inversão é o ponto de contato dela. Em nenhum outro caso a polar passa pelo seu pólo.
5 - O ângulo entre duas retas é o ângulo formado pelos segmentos ligando [tex3]O[/tex3] aos seus pólos.
6 - O ponto [tex3]A[/tex3] se encontra na polar de [tex3]B[/tex3] se, e somente se, [tex3]B[/tex3] se encontra na polar de [tex3]A[/tex3].
Prova: Deixe [tex3]B[/tex3] estar na polar de [tex3]A[/tex3]. A polar de [tex3]A[/tex3] é perpendicular à [tex3]OAA'[/tex3] em [tex3]A'[/tex3] e [tex3]\Delta OA'B[/tex3] é retângulo. Mas [tex3]\Delta OA'B \sim \Delta OB'A[/tex3] logo [tex3]A[/tex3] está na perpendicular à [tex3]OB'[/tex3] por [tex3]B'[/tex3] que é a polar de [tex3]B[/tex3].
7 - Se traçarmos qualquer secante a um círculo por um ponto [tex3]A[/tex3] qualquer então o encontro das tangentes nos pontos onde a secante corta o círculo estão na polar de [tex3]A[/tex3]

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Prova: a polar de [tex3]F[/tex3] é a reta [tex3]DE[/tex3]. Como [tex3]A[/tex3] está na polar de [tex3]F[/tex3] então [tex3]F[/tex3] está na polar de [tex3]A[/tex3].
8 - Se [tex3]Q[/tex3] está na polar de [tex3]P[/tex3] e a reta [tex3]PQ[/tex3] encontra o círculo de inversão nos pontos [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y[/tex3] então [tex3]PQXY[/tex3] são conjugados harmônicos.

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Prova: tome o círculo passando por [tex3]XYB[/tex3] ([tex3]B[/tex3] é o centro do círculo de inversão) e deixe-o cortar [tex3]PB[/tex3] em [tex3]A[/tex3] então [tex3]\Delta BXP \sim \Delta BAX[/tex3] de onde [tex3]A = P'[/tex3] e então [tex3]AQ[/tex3] é polar de [tex3]P[/tex3]. Repare que [tex3]BX = BY[/tex3] logo [tex3]B[/tex3] é ponto médio do arco [tex3]XY[/tex3] no círculo por [tex3]XYB[/tex3] então [tex3]\angle BAY = \angle BXY = \angle BYX = \angle XAP[/tex3] portanto [tex3]AP[/tex3] é bissetriz externa do triângulo [tex3]\Delta XAY [/tex3] e como [tex3]AQ[/tex3] é perpendicular à [tex3]AP[/tex3] então [tex3]AQ[/tex3] é bissetriz interna e portanto temos que [tex3]PQXY[/tex3] são conjugados harmônicos!
9 - A polar divide qualquer secante ao círculo de inversão em uma quadra harmônica.
10 - Se por um ponto fixo são traçadas duas secantes a um círculo, ao se ligar as extremidades do pontos de cruzamento da secante com o círculo temos que a reta que passa pelos dois pontos obtidos é a polar do ponto fixo.
Prova: idealmente se provaria com a razão anarmônica, a prova sem essa ferramenta é braçal envolve algumas leis dos senos e está feita no teorema 139 deste livro.

Um parêntese quanto à geometria analítica,dado um círculo [tex3]\Gamma : (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2[/tex3]
então a equação da reta polar do ponto [tex3]P: (x_p,y_p)[/tex3] é
[tex3](x-a)(x_p-a) + (y-b)(y_p-b)=r^2[/tex3]

existe uma infinidade de teoremas a respeito desses conceitos de pólo e polar. Vou deixar por aqui por hora.

Aplicações:

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