Olimpíadas ⇒ Seleção ConeSul Brasil - Álgebra

[GabrielOBM]

a) Prove que para [tex3]x\ge1[/tex3], temos que:
[tex3]x^3-5x^2+8x-4\ge 0[/tex3].
b) Sendo [tex3]a,b \ge1[/tex3]. Ache o valor mínimo da expressão:
[tex3]ab(a+b-10)+8(a+b)[/tex3], e as duplas (a,b), onde isso ocorre.

[snooplammer]

a) eu acho que é mentira
testando x=1, percebe-se que é raiz, briot rufffini
x=2(raiz dupla)

logo: [tex3]x^3-5x^2+8x-4=(x-2)^2(x-1)[/tex3]
agora é analisar [tex3](x-2)^2(x-1)\geq0[/tex3]

plotando, percebe-se que para 0<x<1 teremos f(x)<0
deveria ser [tex3]x\geq1[/tex3]

[GabrielOBM]

Descula é x maior igual a 1. Eu n tinha o sinal e pensei de relance que x>o prencuia, esqueci que x é real, sorry. Correção: x é maior igual a 1

[snooplammer]

sem problemas

pra b) eu pensei em algo relacionado a f(x,y) e fui procurar sobre, mas não sei mt sobre cálculo pra resolver por esse meio, que talvez seja até mais difícil e provavelmente não seria o intuito da questão, fico no aguardo de uma resolução pra b)

[GabrielOBM]

Olha, fiquei muito feliz com a minha ideia e fiz [tex3]a+b\ge2\sqrt{ab}[/tex3], e temos: [tex3]ab(a+b-10) +8(a+b)\ge ab(2\sqrt{ab}-10)+8(2\sqrt{ab})[/tex3] transformando [tex3]\sqrt{ab}=x[/tex3].
Teremos então [tex3]x^2(2x-10)+16x=2x^3-10x^2+16x (*)[/tex3] e como provamos no item anterior temos [tex3](*)\ge8[/tex3], e como soluções teremos x=1 e x=2, ou seja, [tex3]\sqrt{ab}=1 ou2 => ab=2ou4[/tex3], e como supomos a desigualdade entre médias anteriormente, obtendo a igualdede quando [tex3]a=b[/tex3] gerando os pares [tex3](1,1),(2,2)[/tex3].

[snooplammer]

Realmente, boa!!! Eu praticamente não uso essa propriedade de M.A>M.G pois as questões que eu faço acabam que não necessita e acabei esquecendo dela aqui que facilitou bastante

[GabrielOBM]

Dá uma olhadinha naquele problema de Álgebra/Teoria dos Números, fala como vc faz.