Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI - Página 2

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Ardovino Offline: Mensagens: 118; Registrado em: 07 Dez 2010, 20:22; Agradeceu: 16 vezes; Agradeceram: 2 vezes

Jan 2019 12 16:07

Re: Divisibilidade - Dúvida em questão do POTI

Mensagempor Ardovino » 12 Jan 2019, 16:07

Mensagem por Ardovino » 12 Jan 2019, 16:07

sousóeu escreveu: 12 Jan 2019, 15:56 nesse caso, todos os divisores de 900 devem funcionar.

Pois todos divisores de 900 (menos 10) satisfazem: [tex3]d +10 \vert d^3 + 1000[/tex3] e [tex3]d+10 |900[/tex3]

então [tex3]d+10 \vert d^3 + 1000 - 900 = d^3 + 100[/tex3]

[tex3]90-10 = 80[/tex3]
então
[tex3]n = 80[/tex3] funciona
porque [tex3]80^3 = 512000[/tex3]
e [tex3]90 \vert 512100[/tex3] já que [tex3]512100 = 90 \cdot 5690[/tex3]

pode crer, nao tinha me ligado kkk, o n+10 sempre divide n3+1000
hehe que bobo eu

Ardovino

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por Auto Excluído (ID:17906) » 25 Jan 2018, 21:21 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

Auto Excluído (ID:17906)

Prove que [tex3]2222^{5555}+5555^{2222}[/tex3] é divisível por [tex3]7[/tex3].

Últ. msg

Ittalo25

[tex3]2222^{5555} \equiv 3^{5555} = (3^2)^{2777} \cdot 3 \equiv (2)^{2777} \cdot 3 \equiv (2^3)^{925} \cdot 2^2 \cdot 3\equiv (1)^{925} \cdot 12 \equiv \boxed{5} \mod(7)[/tex3]

[tex3]5555^{2222} \equiv 4^{2222} = 2^{4444} = (2^3)^{1481} \cdot 2 \equiv \boxed{2} \mod(7) [/tex3]...
Ittalo251Auto Excluído (ID:17906)1: 1 Resp.; 1210 Exibições; Últ. msg por Ittalo25
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(POTI) - Divisibilidade

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por goncalves3718 » 04 Jan 2020, 23:49 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Prove que, para cada [tex3]n[/tex3] natural, [tex3](n+1)(n+2)...(2n)[/tex3] é divisível por [tex3]2^{n}[/tex3][/tex3]

Últ. msg

deOliveira

Vamos provar por indução.

Base: [tex3]n=1[/tex3]
[tex3](n+1)=1+1=2[/tex3] e [tex3]2[/tex3] é divisível por [tex3]2^1[/tex3], então a proposição vale para [tex3]n=1[/tex3].

Hipótese de indução: Suponha que a proposição é válida para...
deOliveira1goncalves37181: 1 Resp.; 1189 Exibições; Últ. msg por deOliveira
05 Jan 2020, 00:13

(POTI) - Divisibilidade

Últ. msg por csmarcelo « 05 Jan 2020, 17:53
Enviado em Olimpíadas
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por goncalves3718 » 05 Jan 2020, 11:58 » em Olimpíadas

Primeira Postagem

goncalves3718

Encontre um inteiro que deixa resto [tex3]4[/tex3] na divisão por [tex3]5[/tex3] e resto [tex3]7[/tex3] na divisão por [tex3]13[/tex3]

Últ. msg

csmarcelo

Bem, para encontrar um número simplesmente, que é o que o enunciado pede, basta irmos calculando os múltiplos de 13 e somando 7. Se o algarismo das unidades terminar em 4 ou 9, é o número que...
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(POTI) - Divisibilidade

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Primeira Postagem

goncalves3718

Seja [tex3]S=1+z+z^{2}+z^{3}+...+z^{n-1}[/tex3]. Veja que [tex3]S+z^{n}=1+zS[/tex3]( Me expliquem o porquê ), então [tex3]S(z-1)=z^{n}-1[/tex3]
Conclua que, para quaisquer [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3],...

Últ. msg

baltuilhe

Vou melhorar a resposta:

Para podermos ter na resposta o mesmo 'y', substitui inicialmente por k, tudo bem?
[tex3]x^n-k^n=\left(x-k\right)\cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+x^2y^{n-3}+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)[/tex3]

Fazendo-se k=-y:...
baltuilhe3goncalves37183: 5 Resp.; 1772 Exibições; Últ. msg por baltuilhe
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Primeira Postagem

goncalves3718

Quantos números naturais inteiros positivos [tex3]n[/tex3] existem tais que [tex3]n+3[/tex3] divide [tex3]n^{2}+7[/tex3]?

Últ. msg

undefinied3

[tex3]\frac{n^2+7}{n+3}[/tex3] é inteiro.

[tex3]n^2+7=n^2+6n+9-2-6n=(n+3)^2-6n-2[/tex3]
[tex3]\frac{(n+3)^2-6n-2}{n+3}=n+3-\frac{6n+2}{n+3}[/tex3]

Então [tex3]n+3|6n+2[/tex3]
Mas [tex3]n+3|n+3[/tex3], então podemos combinar...
goncalves37186undefinied35rodBR2: 12 Resp.; 2918 Exibições; Últ. msg por undefinied3
06 Jan 2020, 23:39

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