Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O) Tópico resolvido

[NerdGangster]

Resolva a equação Diferencial introduzindo o parâmetro [tex3]y'=p[/tex3]:

[tex3]x=\sen y'+\ln y'[/tex3]

Resposta

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[tex3]X=\sen p+\ln p;\\Y=p\sen p+\cos p+p+C[/tex3]

[erihh3]

Dado que [tex3]x=\sen y'+\ln y'[/tex3]

Já encontramos que [tex3]x=\sen p+\ln p[/tex3]

Determinando y:

[tex3]\frac{dy}{dx}=y'=p[/tex3]

Regra da cadeia

[tex3]\frac{dy}{dp}\cdot \frac{dp}{dx} =p[/tex3] (i)

Vamos determinar [tex3]\frac{dp}{dx}[/tex3]

Vimos que [tex3]x=\sen p+\ln p[/tex3]

derivando em relação a x:

[tex3]1=p'\cos p+\frac{p'}{p}[/tex3]

[tex3]1=p'\(\cos p+\frac{1}{p}\)[/tex3]

[tex3]1=\frac{dp}{dx}\(\cos p+\frac{1}{p}\)[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\(\cos p+\frac{1}{p}\)}=\frac{dp}{dx}[/tex3] (ii)

Voltando na expressão (i):

[tex3]\frac{dy}{dp}\cdot \frac{dp}{dx} =p[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dp} =p\cdot \frac{1}{\frac{dp}{dx}}[/tex3]

Substituindo (ii) em (i):

[tex3]\frac{dy}{dp} =p\cdot \(\cos p+\frac{1}{p}\)[/tex3]

[tex3]dy =(p\cdot \cos p+1)dp[/tex3]

[tex3]Y=\int p\cos p\,dp +\int dp[/tex3]

[tex3]Y=p\sen p+\cos p+p+C[/tex3]



Obs: Se tive problema pra resolver a integral acima, me avisa que eu resolvo aqui. O jeito tradicional de fazer ela é fazendo duas integrais por partes, haja vista que é uma integral cíclica.

[NerdGangster]

Gostei da manipulação que você fez aí na Regra da Cadeia, hehehehe .. de um modo geral pode-se dizer que [tex3]Y=\int{\frac{p}{p'_{x}}}dp[/tex3], onde o [tex3]p'_x[/tex3] a gente acha ao derivar tudo em relação á x, até achar uma solução Geral.