IME / ITA ⇒ (ITA - 1993) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Numa progressão aritmética com [tex3]2n+1[/tex3] termos, a soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros é igual a [tex3]50[/tex3] e a soma dos [tex3]n[/tex3] últimos é [tex3]140.[/tex3] Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre [tex3]2[/tex3] e [tex3]13,[/tex3] então seu último termo será igual a:

a) [tex3]34[/tex3]
b) [tex3]40[/tex3]
c) [tex3]42[/tex3]
d) [tex3]48[/tex3]
e) [tex3]56[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

Tendo [tex3]2n+1[/tex3] termos, podemos dividir os termos desta progressão na seguinte forma

[tex3]n[/tex3] termos [tex3]+ 1[/tex3] termo [tex3]+n[/tex3] termos

Esta divisão ficará da seguinte forma:

[tex3]\overbrace{\overbrace{a_1,\,\,a_2,\,\,...\,\,,\,\,a_n}^{n\text{ termos}},\,\,\underbrace{a_{n+1}}_{1\text{ termo}},\,\,\overbrace{a_{n+2},\,\,...\,\,,\,\,a_{2n+1}}^{n\text{ termos}}}^{2n+1\text{ termos}}[/tex3]

A soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos é [tex3]S_n[/tex3], e a soma dos [tex3]n[/tex3] últimos será [tex3]S_{2n+1}-S_{n+1}[/tex3]. Assim, temos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}S_n=50\\S_{2n+1}-S_{n+1}=140\end{cases}[/tex3]

Substituímos agora a fórmula da soma dos termos de uma P.A.

[tex3]\begin{cases}\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}=50\\\frac{(a_1+a_{2n+1})\cdot (2n+1)}{2}-\frac{(a_1+a_{n+1})\cdot (n+1)}{2}=140\end{cases}[/tex3]

Vamos substituir agora a fórmula do termo geral nos termos [tex3]a_n[/tex3], [tex3]a_{n+1}[/tex3] e [tex3]a_{2n+1}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}\frac{(a_1+a_1+(n-1)\cdot r)\cdot n}{2}=50\\\frac{(a_1+a_1+(2n+1-1)\cdot r)\cdot (2n+1)}{2}-\frac{(a_1+a_1+(n+1-1)\cdot r)\cdot (n+1)}{2}=140\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}2a_1n+n^2r-nr=100\\4a_1n+2a_1+4n^2r+2nr-(2a_1n+2a_1+n^2r+nr)=280\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}2a_1n+n^2r-nr=100\\2a_1n+3n^2r+nr=280\end{cases}[/tex3]

Fazemos agora a segunda equação menos a primeira:

[tex3]2n^2r+2nr=180[/tex3]

[tex3]n^2r+nr=90[/tex3]

[tex3]nr\cdot(n+1)=90[/tex3]

Como todos os valores desta equação são inteiros, [tex3]r[/tex3] só pode ser um divisor de [tex3]90.[/tex3] Os únicos divisores de [tex3]90[/tex3] que estão entre [tex3]2[/tex3] e [tex3]13[/tex3] são:

[tex3]3,\,5,\,6,\,9[/tex3] e [tex3]10[/tex3]

Se colocarmos [tex3]r=5[/tex3] ou [tex3]r=6[/tex3] ou [tex3]r=9[/tex3] ou [tex3]r=10[/tex3] na última equação encontrada, não teremos valores inteiros para [tex3]n[/tex3], ou seja, [tex3]r[/tex3] só pode ser [tex3]r=3[/tex3].

Assim, substituindo [tex3]r=3[/tex3] na última equação, encontramos [tex3]n=5[/tex3].

Substituindo estes valores na equação [tex3]S_n=50[/tex3] encontramos [tex3]a_1=4[/tex3].

Agora é só encontrar [tex3]a_{2n+1}=a_1+(2n+1-1)\cdot r=4+2\cdot 5\cdot 3=34[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Caro Caju.

Agradeço a sua excelente explanação.