Olimpíadas ⇒ Olimpíada Peruana - Funções Tópico resolvido

[LucasOBM]

Encontrar todas as funções f:[tex3]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3] tais que f(x).f(y) + f(x+y) = xy para todos os reais x, y.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]x=y=0 \implies f(0)^2 + f(0) = 0 \iff f(0) = 0 [/tex3] o u [tex3]f(0)= -1[/tex3]

jogue [tex3]y=0[/tex3] e deixe [tex3]x[/tex3]
[tex3]f(x)f(0) + f(x) = 0[/tex3]
se [tex3]f(0) = 0 \implies f(x) =0 ,\forall x \in \mathbb R[/tex3]
que é uma solução. (A função nula)

Se [tex3]f(0) = -1[/tex3] então jogue [tex3]y = -x[/tex3] e terá [tex3]f(x)f(-x) -1 = -x^2 \iff f(x)f(-x) = 1 - x^2[/tex3]
então
[tex3]f(1)f(-1) = 0[/tex3]
se [tex3]f(1) = 0[/tex3]
[tex3]y =1[/tex3] e [tex3]x=z-1[/tex3] dá [tex3]f(z) = z-1[/tex3] que é uma solução sim!
se [tex3]f(1) \neq 0[/tex3] então [tex3]f(-1) = 0[/tex3]
[tex3]y=-1[/tex3] e [tex3]x = z+1[/tex3] dá [tex3]f(z) = -(z+1)[/tex3]
que também é solução, então acabou essas são as duas funções