Ensino Médio ⇒ Trinômio do Segundo Grau Tópico resolvido

[guiaguiarsan]

Determinar a soma dos valores de m, m [tex3]\in inteiros[/tex3], de modo que tenhamos sempre [tex3]\frac{2x²-2mx+m}{3x²+3x+4}[/tex3]<1

a)-10
b)10
c)-9
d)9
e)8

Resposta

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gab:-10 (a)

[erihh3]

[tex3]\frac{2x²-2mx+m}{3x²+3x+4}<1[/tex3]

[tex3]\frac{2x²-2mx+m}{3x²+3x+4}-1<0[/tex3]

Fazndo MMC

[tex3]\frac{-x²-(2m+3)x+(m-4)}{3x²+3x+4}<0[/tex3]

Analisando o polinômio no denominador, percebemos que [tex3]\Delta=-39<0[/tex3]. Tendo em vista que o coeficiente do termo quadrático é [tex3]3>0[/tex3], pode-se afirmar que o polinômio admitirá apenas valores positivos para sua imagem. Ou seja, para qualquer [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3], o polinômio no denominador é maior que 0.

Deste modo, vamos ignorá-lo na análise do polinômio que encontra-se no denominador.

Daí,

[tex3]-x²-(2m+3)x+(m-4)<0[/tex3]

Perceba que o coeficiente quadrático é -1, que é menor que 0. Ou seja, a imagem é uma parábola virada para baixo. Para que a equação acima seja verdade, para todo valor de x basta que o polinômio não tenha raízes. Portanto, [tex3]\Delta[/tex3] deve ser menor que zero.

[tex3]\Delta<0[/tex3]
[tex3](2m+3)^2-4\cdot (-1)\cdot (m-4)<0[/tex3]
[tex3]4m^2+12m+9+4m-16<0[/tex3]
[tex3]4m^2+16m-7<0[/tex3]

Resolvendo o segundo grau em m, obtemos os seguintes valores:

[tex3]m=\frac{-4\pm \sqrt{23}}{2}[/tex3]

Deste modo, para que a equação seja satisfeita, já tendo em vista que que o coeficiente quadrático é 1>0, m deverá satisfazer as seguintes condições:

[tex3]\frac{-4- \sqrt{23}}{2}< m< \frac{-4+ \sqrt{23}}{2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{23}[/tex3] é um número entre 4 e 5. Vamos estimá-lo como sendo 4,8 para facilitar as contas e por estar mais próximo de 5.

[tex3]\frac{-4- 4,8}{2}< m< \frac{-4+ 4,8}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{-8,8}{2}< m< \frac{0,8}{2}[/tex3]
[tex3]-4,4< m< 0,4[/tex3]

Como [tex3]m\in\mathbb{Z}[/tex3]

[tex3]-4\leq m \leq 0[/tex3]

Daí,

[tex3]m={0,-1,-2,-3,-4}[/tex3]

A soma é -10.



Obs: Veja que se fosse usado [tex3]\sqrt{23}=4,2[/tex3], por exemplo, o resultado seria o mesmo. Ou seja, bastava saber que a raiz estava entre 4 e 5 para uma estimativa correta e não uma calculadora em si.