Ensino Médio ⇒ Demonstração: Raízes de uma Equação Quadrática

[Natan]

Demonstre que as soluções da equação [tex3]ax^{2}+bx+c=0[/tex3] são [tex3]x_{1}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}[/tex3] e [tex3]x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.[/tex3]

[fabit]

1ª) [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3]

Multiplicando por [tex3]4a:[/tex3]

• [tex3]4a^2x^2+4abx+4ac=0[/tex3]

Definamos o discriminante [tex3]\triangle =b^2-4ac.[/tex3]

Somando o discriminante aos dois lados:

• [tex3]4a^2x^2+4abx\cancel{+4ac}+b^2\cancel{-4ac}=\triangle[/tex3]

Obtemos um trinômio quadrado perfeito do lado esquerdo da igualdade.

• [tex3](2ax+b)^2=\triangle[/tex3]

Como [tex3](2ax+b)^2 >0,[/tex3] há três casos possíveis:

i) Se [tex3]\triangle <0,[/tex3] a equação não possui raízes reais;
ii) Se [tex3]\triangle =0, 2ax+b=0[/tex3] e teremos uma única solução: [tex3]x=-\frac{b}{2a}.[/tex3]
iii) Se [tex3]\triangle >0,[/tex3] haverá um par de valores, de sinais opostos, cujo quadrado é o discriminante:

• [tex3]2ax+b=\pm\sqrt{\triangle}\Rightarrow 2ax=-b\pm\sqrt{\triangle}[/tex3]

Dividindo por [tex3]2a,[/tex3]

• [tex3]x=\frac{-b\pm\sqrt{\triangle}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex3]

2ª)

• [tex3]ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0,[/tex3]

pois [tex3]a[/tex3] não é nulo.

Completando o quadrado:

• [tex3]x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=\left(\frac{b}{2a}\right)^2[/tex3]

Ou seja,

• [tex3]\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\Leftrightarrow\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\triangle}{4a^2}[/tex3]

Discute-se o discriminante e segue

• [tex3]x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\triangle}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{\triangle}}{2a}[/tex3]