Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais de primeira ordem Tópico resolvido

[lucasf10]

Boa tarde, não estou conseguido resolver a seguinte equação diferencial de primeira ordem:

[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2y+y^3}[/tex3]

O livro (Eq. Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - Boyce/Diprima) sugere que consideremos [tex3]u=x^2[/tex3], porém não consegui igualmente. Aguardo uma ajuda.
Desde já, agradeço.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Da equação

[tex3]\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2y+y^3}[/tex3]

Temos que ;

[tex3]\frac{dy}{xdx} = \frac{1}{x^2y+y^3} \ (I )[/tex3]

Por outro lado;

u = x² →

[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{2xdy}{du}→[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{xdx}=\frac{2dy}{du}\ ( II )[/tex3]

De ( l ) e ( l l ), vem;

[tex3]\frac{2dy}{du}=\frac{1}{u^2y+y^3}[/tex3]

du = 2uydy + 2y³dy

du - 2uydy = 2y³dy ÷ dy

[tex3]\frac{du}{dy}-2uy=2y^3[/tex3]

u' - 2yu = 2y³

Temos uma equação linear em u( y ), então;

p( y ) = - 2y e g( y ) = 2y³

Daí;

[tex3]\mu (y)=e^{-2\int\limits_{}^{}ydy}[/tex3]

[tex3]\mu (y)=e^{-y^2}[/tex3]

Assim;

[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}2y^3 \ dy[/tex3]

[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}\int\limits_{}^{}e^{-y^2}y^22y \ dy[/tex3]

Para resolver a integral acima você utiliza a substituição t = y² → dt = 2ydy , resulta;

[tex3]u=\frac{1}{e^{-y^2}}[-e^{-y^2}(y^2+1)+C][/tex3]

Como u = x², fica;

[tex3]x^2=-(y^2+1)+ \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]

[tex3]x^2+y^2+1= \frac{C}{e^{-y^2}}[/tex3]

Portanto,

C = ( x² + y² + 1 ).e [tex3]^{-y^2}[/tex3]



Bons estudos para quem pesquisar a solução desta questão!