Pré-Vestibular ⇒ (UFU) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[redns]

A circunferência de equação [tex3]x^2+y^2-2x+2y-5=0[/tex3] possui duas retas tangentes, [tex3]t_1 \text{ e } t_2,[/tex3] que são paralelas à reta [tex3]s[/tex3] de equação [tex3]3x+4y-1=0.[/tex3] Determine a equação das retas [tex3]t_1 \text{ e } t_2.[/tex3]

[Natan]

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Como [tex3]s\parallel t_1\parallel t_2 ,[/tex3] temos que as equações de [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] são da forma [tex3]3x+4y+k=0.[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{rl} x^2+y^2-2x+2y-5=0& \Longrightarrow x^2-2x+y^2+2y-5=0\\
  &\Longrightarrow (x-1)^2-1+(y+1)^2-1-5=0 \\
  &\Longrightarrow (x-1)^2+(y+1)^2=7. \\
  &\Longrightarrow C(1,\, -1) \text{ e } r=\sqrt{7}. \end{array}[/tex3]

As distâncias de [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] ao centro da circunferência são iguais a [tex3]r.[/tex3] Logo,

• [tex3]\begin{array}{rl} \frac{|3\cdot 1+4\cdot (-1)+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\sqrt{7}&\Longrightarrow |k-1|=5\sqrt{7}\\
  &\Longrightarrow k-1=\pm5\sqrt{7} \\
  &\Longrightarrow k=1-5\sqrt{7}\text{ ou } k=1+5\sqrt{7}. \end{array}[/tex3]

Portanto,

• [tex3]t_1:\, 3x+4y+1-5\sqrt{7}=0[/tex3] e [tex3]t_2:\,3x+4y+1+5\sqrt{7}=0[/tex3]