Pré-Vestibular ⇒ (UFLA - 2008) Trigonometria: Equação Trigonométrica

[Doug]

Para [tex3]x[/tex3] expresso em graus com [tex3]0 \leq x < 360^\circ ,[/tex3] resolva a equação [tex3]5 \text{sen}^2(x) + \cos^2 (x) = 2.[/tex3]

[Natan]

• [tex3]5\text{sen}^2 x+\cos^2 x=2[/tex3]
  
  [tex3]5\text{sen}^2 x+1-\text{sen}^2 x=2[/tex3]
  [tex3]4\text{sen}^2 x=1\Longrightarrow \text{sen}^2 x=\frac{1}{4}\Longrightarrow \text{sen} x=-\frac{1}{2} \text{ ou } \text{sen}x=\frac{1}{2}[/tex3]

• [tex3]\text{sen} x=-\frac{1}{2}\Longrightarrow \text{sen} x=\text{sen}210^\circ\Longrightarrow \begin{cases} x=210^\circ+k\cdot 360^\circ\\x=180^\circ-210^\circ+k\cdot 360^\circ \end{cases} \Longrightarrow\begin{cases} x=210^\circ+k\cdot 360^\circ\text{ }(i)\\x=-30^\circ+k\cdot 360^\circ\text{ }(ii) \end{cases}[/tex3]

• [tex3]\text{sen} x=\frac{1}{2}\Longrightarrow \text{sen} x=\text{sen}30^\circ\Longrightarrow \begin{cases} x=30^\circ+k\cdot 360^\circ\\x=180^\circ-30^\circ+k\cdot 360^\circ \end{cases} \Longrightarrow\begin{cases} x=30^\circ+k\cdot 360^\circ \text{ }(iii)\\x=150^\circ+k\cdot 360^\circ \text{ }(iv) \end{cases}[/tex3]

Para [tex3]k=0[/tex3] em [tex3](i),(iii)[/tex3] e [tex3](iv)[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] em [tex3](ii),[/tex3] obtemos

• [tex3]S=\{30^\circ ,150^\circ, 210^\circ, 330^\circ\}[/tex3]