IME / ITA ⇒ (ITA - 1999) Geometria Espacial: Poliedros Tópico resolvido

[Deekah]

Um poliedro convexo de [tex3]10[/tex3] vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:

a) [tex3]10[/tex3]
b) [tex3]17[/tex3]
c) [tex3]20[/tex3]
d) [tex3]22[/tex3]
e) [tex3]23[/tex3]

[jgpret]

Sejam [tex3]q[/tex3] e [tex3]t,[/tex3] respectivamente, o número de faces quadrangulares e triangulares.

Logo, segundo o enunciado, [tex3](q,t,q+t)[/tex3] é uma PA e, portanto,

• [tex3]2t=q+q+t\Longrightarrow t=2q.[/tex3]

Desse modo, [tex3]F=q+t=q+2q=3q[/tex3] e [tex3]A=\frac{3t+4q}{2} =\frac{3\cdot 2q+4q}{2}=5q.[/tex3]
Pela relação de Euler, vem

• [tex3]V+F=A+2\Longrightarrow 10+3q=5q+2\Longrightarrow q=4.[/tex3]

Portanto, [tex3]A=5\cdot 4=20.[/tex3]