IME / ITA ⇒ (ITA - 1989) Binômio de Newton Tópico resolvido

[triplebig]

Considere o desenvolvimento [tex3](x+y)^{10}\text{ = }A_1x^{10}+A_2x^9y+ \ldots ,[/tex3] onde [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números reais. A oitava parcela do lado direito é igual a [tex3]\frac{405}{2}\cdot(\log_k2)^3,[/tex3] para algum [tex3]k>1,[/tex3]

• [tex3]x = \Large\frac{2\log_2k}{\sqrt{\log_k2}}\large\text{ e }y= \Large\frac{\sqrt{\log_k2}}{2\log_2k}.[/tex3]

Neste caso:

a) [tex3]k^2=2[/tex3]
b) [tex3]k^2=3[/tex3]
c) [tex3]k^3=2[/tex3]
d) [tex3]k^3=7[/tex3]
e) [tex3]k^3=5[/tex3]

[jgpret]

Seja [tex3]\log_k2=t,\,t\neq0.[/tex3]

Como [tex3]\log_ab=\frac{1}{\log_ba},[/tex3] segue que [tex3]\log_2k=\frac{1}{t}.[/tex3]

Assim, podemos escrever [tex3]x[/tex3] em função de [tex3]t:[/tex3]

• [tex3]x = \frac{2\log_2k}{\sqrt{\log_k2}}=\frac{2}{t\sqrt{t}}.[/tex3]

Usando o fato de que [tex3]y=\frac{1}{x},[/tex3] a oitava parcela do lado direiro é dada por

• [tex3]T_8={10\choose7}\cdot x^3\cdot y^7=\frac{10!}{3!\cdot 7!}\cdot x^3\cdot \frac{1}{x^7}=\frac{120}{x^4}=\frac{120t^6}{16}=\frac{15t^6}{2}.[/tex3]

Mas sabemos que esta parcela é [tex3]\frac{405}{2}\cdot(\log_k2)^3=\frac{405t^3}{2}.[/tex3] Logo,

• [tex3]\frac{15t^6}{2}=\frac{405t^3}{2}\Longrightarrow t^3=27\Longrightarrow t=3.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]\log_k2=3\Longleftrightarrow k^3=2.[/tex3]