IME / ITA ⇒ (IME - 2001) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[matbatrobin]

Considere a figura abaixo, onde [tex3]\overline{AB}=\overline{AD}=1,\, \overline{BC}=x,\, \overline{AC}=y,\, \overline{DE}=z \text{ e }\overline{AE}=w.[/tex3] Os ângulos [tex3]D\widehat{E}A,\, B\widehat{C}A \text{ e } B\widehat{F}A[/tex3] são retos.

a) Determine o comprimento de [tex3]\overline{AF}[/tex3] e de [tex3]\overline{BF}[/tex3] em função de [tex3]x, y, z \text{ e } w.[/tex3]
b) Determine a tangente do ângulo [tex3]\alpha[/tex3] em função de [tex3]x, y, z \text{ e } w.[/tex3]

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[adrianotavares]

Olá, matbatrobin.

[tex3]a)[/tex3]

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Os triângulos triângulos [tex3]AGF, ADE[/tex3] e [tex3]BGC[/tex3] são semelhantes:

[tex3]\overline{GC}= y - \overline{AG}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{GF}}{\overline{AF}}= \frac{\overline{DE}}{\overline{AE}}= \frac{\overline{GC}}{\overline{BC}}[/tex3]

[tex3]\frac{z}{w}= \frac{y- \overline{AG}}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{zx}{w}= y - \overline {AG}[/tex3]

[tex3]\overline{AG}= y-\frac{zx}{w}[/tex3]

[tex3]\overline{AG}= \frac{yw-zx}{w}[/tex3]

Cálculo de [tex3]\overline{AF}[/tex3]:

[tex3]\frac{\overline{AG}}{\overline{AF}}= \frac{\overline{AD}}{\overline{AE}}[/tex3]

[tex3]\overline{AF}=\frac{\overline{AE}.\overline{AG}}{\overline{AD}}[/tex3]

[tex3]\overline{AF}= w. (\frac{yw-zx}{w})[/tex3]

[tex3]\overline{AF}= yw-zx[/tex3]

[tex3]\overline{GF}=\frac{\overline{AF}.\overline{DE}}{\overline{AE}}[/tex3]

[tex3]\overline{GF}=z(\frac{yw-zx}{w})[/tex3]

Cálculo de [tex3]\overline{BF}[/tex3]:

[tex3]\overline{BG}= \overline{BF}- \overline{GF}[/tex3]

[tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{AD}}= \frac{\overline{BC}}{BG}[/tex3]

[tex3]\frac{w}{1}= \frac{x}{\overline{BF}- \overline{GF}}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{x}{w}+ \overline{GF}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{x}{w}+ z(\frac{yw-zx}{w})[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{x+zyw-z^2x}{w}[/tex3] (1)

No [tex3]\Delta ADE[/tex3] temos:

[tex3]z^2 = 1 - w^2[/tex3](2)

Substituindo (2) em (1) temos:

[tex3]\overline{BF}= \frac{x+zyw-(1-w^2)x}{w}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{x+zyw-x+w^2x}{w}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{zwy+w^2x}{w}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= \frac{w(zy+wx)}{w}[/tex3]

[tex3]\overline{BF}= zy + wx[/tex3]

[tex3]b)[/tex3]

[tex3]tg\alpha = \frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}[/tex3]

[tex3]tg\alpha= \frac{yw-zx}{zy+ wx}[/tex3]