Ensino Superior ⇒ Equação Diferencial Ordinária Tópico resolvido

[NerdGangster]

Resolva a E.D.O seguinte, sabendo que sua solução particular é [tex3]y_{p}=x[/tex3]:

[tex3]x^{2}(lnx-1).y''-xy'+y=0[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

A solução geral dessa equação homogênea linear de segunda ordem será do tipo y = [tex3]C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}[/tex3]

A solução particular ele já forneceu que é [tex3]y_{p}=x[/tex3] , ou seja , [tex3]y_{1}=x[/tex3]

Vamos tentar determinar soluções da forma :

[tex3]y_{2}=t(x).y_{1}[/tex3]

Onde t(x) é uma função não constante.

Temos que;

[tex3]y_{2}=t(x).x[/tex3]

y=t.x

y' = t'x + t

y" = t"x + t' + t' → y" = t"x + 2t'

Substituindo esses valores encontrados acima na EDO homogênea dada, fica;

x²[ ln(x) - 1 ]( t"x + 2t' ) - x( t'x + t ) + tx = 0

x³[ ln(x) - 1 ]t" + 2x²[ ln(x) - 1 ]t' - x²t' - tx + tx = 0

x³[ ln(x) - 1 ]t" + 2x²t'ln(x) - 2x²t' - x²t' = 0

x³[ ln(x) - 1 ]t" + 2x²t'ln(x) - 3x²t' = 0

x³[ ln(x) - 1 ]t" + x²[ 2ln(x) - 3 ]t' = 0

[tex3]t''=\frac{3-2ln(x)}{x[ln(x)-1]}t'[/tex3]

Fazendo t' = p → t" = p', fica;

[tex3]p'=\frac{3-2ln(x)}{x[ln(x)-1]}p[/tex3] → EDO de variáveis separáveis

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{p}dp=\int\limits_{}^{}\frac{3-2ln(x)}{x[ln(x)-1]} dx[/tex3]

ln(p) = ln [ ln(x) - 1 ] - 2[ ln(x) - 1 ] + c

ln(p) = ln [ ln(x) - 1 ] - 2ln(x) + k

[tex3]p=e^{ln[ln(x)-1]}.e^{lnx^{-2}}.e^k[/tex3]

[tex3]p=[ln(x)-1].x^{-2}.k_{1}[/tex3]

[tex3]p=\frac{[ln(x)-1].k_{1}}{x^2}[/tex3]


Mas , p = t' , daí;


[tex3]t'=\frac{[ln(x)-1].k_{1}}{x^2}[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}1dt=\int\limits_{}^{}\frac{[ln(x)-1].k_{1}}{x^2}dx[/tex3]

[tex3]t(x)=-\frac{k_{1}ln(x)}{x}+k_{2}[/tex3]

Como queremos apenas exibir uma segunda solução, podemos fazer a escolha que julgarmos mais simples. Por exemplo, podemos tomar [tex3]y_{2}=t(x).y_{1}=ln \ x[/tex3] e , portanto , como [tex3]y_{1}[/tex3] e [tex3]y_{2}[/tex3] são L.I. e solucionam o problema homogêneo, então;

[tex3]y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]y=C_{1}x+C_{2}ln \ x[/tex3]


Nota

Você pode verificar facilmente que y = ln x é uma solução da EDO dada. ( verifique! )


Bons estudos!