Pré-Vestibular ⇒ (UCB) Sistemas Lineares

[ALDRINMOD]

Ao final de um campeonato de futebol, foram premiados os jogadores que marcaram doze, treze ou quatorze gols cada um, durante o campeonato. Qual o número de atletas premiados, sabendo-se que o total de gols marcados por eles foi de [tex3]115[/tex3] e que somente [tex3]5[/tex3] atletas marcaram mais de doze gols cada um?

[Beastie]

Sejam [tex3]x, y \text{ e }z[/tex3] os jogadores que fizeram [tex3]12, 13 \text{ e } 14[/tex3] gols, respectivamente.

• [tex3]\begin{cases}12x+13y+14z=115 \\y+z=5\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}12x+13y+14\cdot(5-y)=115 \\z=5-y\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}y=12x-45 \\z=5-y\end{cases}[/tex3]

Como [tex3]z>0,\, 5-y>0\Longrightarrow y<5.[/tex3]

Por outro lado, [tex3]y>0.[/tex3] Logo,

• [tex3]0<12x-45<5 \Longrightarrow 45<12x<50\Longrightarrow x=4.[/tex3]

Daí [tex3]y=3[/tex3] e [tex3]z=2.[/tex3]

O número de atletas premiados é [tex3]4+3+2=9.[/tex3]