Ensino Superior ⇒ demonstração LD - geoemtria analítica e álgebra linear

[magben]

prove que [tex3]\vec{u}-\vec{2v}+\vec{w}, \vec{2u}-\vec{v}+\vec{3w}[/tex3] é LD quaisquer que sejam os vetores [tex3]\vec{u}, \vec{v},\vec{w}[/tex3]

[erihh3]

Vamos supor que seja LI.

Escrevendo a combinação lineares dos vetores pedidos.

[tex3]\alpha \(\vec{u}-\vec{2v}+\vec{w}\)+\beta\( \vec{2u}-\vec{v}+\vec{3w}\)=0[/tex3]

[tex3]\(\alpha+2\beta\)\vec{u}+\(-2\alpha - \beta\)\vec{v}+\(\alpha+3\beta\)\vec{w}=0[/tex3]

Para que o conjunto de vetores seja LI, [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] devem ser nulos.

Vamos tentar achar um contra exemplo. Seja [tex3]\alpha=-2\beta[/tex3]

Daí, a combinação linear fica da seguinte forma:

[tex3]\(3\beta\)\vec{v}+\(\beta\)\vec{w}=0[/tex3]

[tex3]\beta\( 3\vec{v} + \vec{w} \)=0[/tex3]

Neste caso, basta que [tex3]\vec{v}[/tex3] e [tex3]\vec{w}[/tex3] sejam paralelos e a razão seja 3.

Deste modo, tem-se:

[tex3]\vec{w}=-3\vec{v}[/tex3]

Com isso, veja que existem infinitos valores de [tex3]\beta[/tex3] que satisfazem o problema. Consequentemente, infinitos valores de [tex3]\alpha[/tex3] também.

Isso é um ABSURDO! Haja vista que a suposição foi que os vetores seriam LI. Como achamos pelo menos um contra exemplo de que isso é um absurdo, a contrapositiva é verdadeira. Ou seja, o conjunto de vetores é LD para quaisquer valroes de u, v e w.