Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-2001) Elipse e Função Afim Tópico resolvido

[Planck]

A elipse [tex3]x^2 + \frac{y^{2}}{2}=\frac{9}{4}[/tex3] e a reta [tex3]y=2x+1[/tex3], do plano cartesiano, se interceptam nos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] é:

a)[tex3]\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)[/tex3]
b)[tex3]\left(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)[/tex3]
c)[tex3]\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)[/tex3]
d)[tex3]\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)[/tex3]
e)[tex3]\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)[/tex3]

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Resposta

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D

[MateusQqMDMOD]

Planck, uma ideia é substituirmos [tex3]y=2x+1[/tex3] na equação da elipse para descobrirmos as coordenadas dos pontos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3]

Substituindo [tex3]y=2x+1,[/tex3] temos

[tex3]\begin{aligned}\frac{9}{4} & = x^2 + \frac{(2x+1)^{2}}{2} \\ & = x^2 + \frac{4x^2 + 4x +1}{2} \\ & = \frac{6x^2 + 4x +1 }{2},\end{aligned}[/tex3]

ou, ainda,

[tex3]12x^2 +8x -7 = 0.[/tex3]

Donde [tex3]x = -\frac{7}{6} \,\, \text{ou} \,\, \frac{1}{2}.[/tex3]

As raízes da equação acima são as abscissas dos pontos A e B.

[tex3]\bullet \,\,[/tex3] Se [tex3]x = -\frac{7}{6} [/tex3], então [tex3]y = 2\(-\frac{7}{6}\)+1 = \frac{-4}{3}.[/tex3]

[tex3]\bullet \,\,[/tex3] Se [tex3]x = \frac{1}{2}[/tex3], então [tex3]y = 2\(\frac{1}{2}\)+1 = 2.[/tex3]

Segue, daí, que

[tex3]\begin{cases}\begin{aligned}&x_\text{m} = \frac{-\frac{7}{6} +\frac{1}{2} }{2} = \frac{-1}{3} \\ ⠀ \\ &\text{e} \\ ⠀ \\ &y_{\text{m}} = \frac{\frac{-4}{3} + 2}{2} = \frac{1}{3} \end{aligned}\end{cases}.[/tex3]