Ensino Superior ⇒ Integral. (do livro Cálculo Diferencial e Integral- Frank Ayres Jr)

[aleixoreis]

Calcule a integral:
[tex3]\int tg^2x sec^{3}xdx[/tex3]
Desde já agradeço.
[ ].s

Resposta

---

[tex3]\frac{1}{4}sec^{3}x. tgx-\frac{1}{8}secx.tgx -\frac{1}{8}ln|secx+tgx| + C[/tex3]

[undefinied3]

[tex3](tg(x).sec(x))(sec^2(x).tg(x))[/tex3]
Lembrando que a derivada de secante é [tex3]sec(x)*tg(x)[/tex3] e a derivada de tangente é [tex3]sec^2(x)[/tex3]. Então faça por partes: [tex3]u=sec^2tg[/tex3], [tex3]dv=tg.sec[/tex3]
[tex3]du=[/tex3]
[tex3]uv-\int v du = sec^2.tg.sec - \int sec^4+2tg^2.sec^2[/tex3]
A última integral é fácil de resolver, mas um pouco trabalhosa.

[tex3]sec^4+2(1+sec^2)sec^2=3sec^4+2sec^2[/tex3]

[tex3]sec^4[/tex3] integra fazendo [tex3]sec^2.sec^2=sec^2(1+tg^2)[/tex3] e faz u du com [tex3]u=1+tg^2[/tex3]
E obviamente [tex3]\int sec^2=tg[/tex3]

EDIT: Ignorar, esqueci de uma multiplicação.

[aleixoreis]

undefinied3:
Este problema eu tinha resolvido até o seguinte ponto:
[tex3]\int tan^{2}xsec^{3}xdx=\int(sec^2x-1)sec^{3}xdx= \int sec^{5}xdx-\int sec^{3}xdx[/tex3]

Resolvendo a segunda integral:
[tex3]\int sec^{3}xdx=\int secx.sec^2xdx[/tex3]
[tex3]u=secx\rightarrow du=secx.tanxdx[/tex3]
[tex3]dv=sec^2xdx \rightarrow v=tanx[/tex3]
[tex3]\int sec^{3}xdx=tanxsecx-\int secx.tan^2xdx[/tex3]...I
[tex3]\int secx.tan^2xdx=\int secx(sec^2x-1)dx=\int sec^{3}xdx-\int secxdx[/tex3]...ii
Substituindo II eI:
[tex3]\int sec^{3}xdx=tanxsecx-\int sec^{3}xdx+ln|secx+tanx|+C[/tex3]
[tex3]\int sec^3 xdx=\frac{tanxsecx}{2}+\frac{ln|secx+tanx|}{2}+C[/tex3]

O que falta é resolver: [tex3]\int sec^{5}xdx[/tex3] que será a dúvida do próximo post.
[ ]'s.