Ensino Superior ⇒ Derivadas: Reta Tangente e Ponto de Inflexão

[valzinha]

Se [tex3]f(x)=ax^3+bx^2+cx,[/tex3] determine [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] de tal forma que o gráfico de [tex3]f[/tex3] tenha um ponto de inflexão em [tex3](1,-1)[/tex3] e que a inclinação da tangente inflexional seja [tex3]{-}3.[/tex3]

[fabit]

Derivou duas vezes e igualou a zero: [tex3]6ax+2b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{3a}[/tex3]

Esse x tem que ser 1. O valor da função para x=1 tem que ser y=-1. E a inclinação (primeira derivada) nesse ponto tem que ser -3.

Sistema [tex3]\{{1=\frac{-b}{3a}}\\{a+b+c=-1}\\{3a+2b+c=-3}[/tex3]

Da primeira, b=-3a. O sistema cai para [tex3]\{{c-2a=-1}\\{-3a+c=-3}[/tex3]

Subtraindo a de baixo da de cima: a=2

Então b=-6 e c=3.

Prova real. A função ficou [tex3]f(x)=2x^3-6x^2+3x[/tex3]. Logo a primeira derivada é [tex3]6x^2-12x+3[/tex3] e a segunda é [tex3]12x-12[/tex3]. De fato, x=1 zera a última expressão e f(1)=2-6+3=-1 e a inclinação é 6-12+3=-3.