Ensino Superior ⇒ Intersecção de dois planos A e B Tópico resolvido

[magben]

Ache dois pontos A e B da intersecção dos planos [tex3]\pi _{1}[/tex3] e [tex3]\pi _{2}[/tex3], e escreva uma equação vetorial para a reta que passa por A e B. Dados:

[tex3]\pi _{1}: X = (1,0,0) + \lambda (0,1,1) + \mu (1,2,1)[/tex3]

[tex3]\pi _{1}: X = (0,0,0) + \lambda (0,3,0) + \mu (-2,-1,-1)[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

De [tex3]π_{1}[/tex3], temos:

[tex3]X_{1}=(1+\mu _{1} ,\lambda _{1}+2\mu _{1}, \lambda _{1}+\mu _{1})[/tex3]

De [tex3]π_{2}[/tex3], temos:

[tex3]X_{2}=(-2\mu _{2} ,3\lambda _{2}-\mu _{2}, -\mu _{2})[/tex3]

Fazendo [tex3]X_{1}=X_{2}[/tex3] ( intersecção ), obtemos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
1+\mu _{1}=-2\mu _{2} \ (I) \\
\lambda _{1}+2\mu _{1} = 3\lambda _{2}-\mu _{2} \ (II) \\
\lambda _{1}+\mu _{1}=-\mu _{2} \ (III)
\end{cases}[/tex3]

Fazendo k = - [tex3]\mu _{2}[/tex3] ( por ser a variável livre ) e substituindo em ( I ), fica;

[tex3]1+\mu _{1}=2k[/tex3]

[tex3]\mu _{1}=2k-1[/tex3] ( IV )


Substituindo k = - [tex3]\mu _{2}[/tex3] e ( IV ) em ( I I I ), vem;

[tex3]\lambda _{1}+2k-1=k[/tex3]

[tex3]\lambda _{1}=1-k[/tex3] ( V )


Agora, vamos substituir ( IV ) e ( V ) em [tex3]π_{1}[/tex3] , fica;

[tex3]X_{1}=(1,0,0)+(1-k).(0,1,1)+(2k-1).(1,2,1)[/tex3]

[tex3]X_{1}=(1+2k-1,1-k+4k-2,1-k+2k-1)[/tex3]

[tex3]X_{1}[/tex3] = ( 2k , 3k - 1 , k )

Faça k = 2, resulta;

A = ( 4 , 5 , 2 )

Faça agora k = 3, resulta;

B = ( 6 , 8 , 3 )

Temos os pontos A e B , precisamos de um vetor diretor para determinar a reta procurada. Então;


[tex3]\vec{AB}=B-A=(6,8,3)-(4,5,2)=(2,3,1)[/tex3] → vetor diretor da reta

Assim;

X = A + [tex3]\lambda .\vec{AB}[/tex3]

X = ( 4 , 5 , 2 ) + λ( 2 , 3 , 1 )

Obs. Eu tomei o ponto A , mais você pode tomar o ponto B.



Nota

Você pode trabalhar também com os valores de [tex3]\lambda _{2}[/tex3] e [tex3]\mu _{2}[/tex3] substituindo em X [tex3]_{2}[/tex3]([tex3]π_{2}[/tex3])

Outro detalhe que você poderia fazer é atribuir para k = 1 , a resposta será a mesma.




Bons estudos!

[alematematica]

Essa solução do Cardoso eu não entendi muito bem, será que poderia ser resolvida com determinantes?