Pré-Vestibular ⇒ (São Camilo) Função Logarítmica Tópico resolvido

[skulllsux189]

Uma indústria despeja substâncias tóxicas em uma represa que apresenta um fluxo constante de renovação das águas.
Na época em que essa indústria foi obrigada a abandonar essa prática, a concentração das substâncias tóxicas era de
80 partes por milhão (ppm), e os técnicos estimaram que a despoluição obedeceria à lei x(t) = 80 · k–0,004 · t, sendo t o tempo,
em dias; x(t) a concentração, em ppm, das substâncias tóxicas no instante t; e k um número real positivo.
Considerando um ano de 365 dias, logk 7,4 = 2 e logk 0,05 = –3, determine:

a) o tempo, em dias, necessário para que a concentração de substâncias tóxicas seja de 4 ppm.

b) a concentração aproximada das substâncias tóxicas, em ppm, 500 dias após o abandono dessa prática pela indústria.

[Valdir]

Olá, tem o gabarito?

[skulllsux189]

Olá, tem o gabarito?

NAO TENHO =/

[Planck]

Olá skulllsux189,

[tex3]a)[/tex3] Primeiramente, temos que:

[tex3]x(t)={\color{red}80}\cdot k^{-0,004\cdot t}[/tex3]

Fazendo [tex3]x=4[/tex3]:

[tex3]4=80\cdot k^{-0,004\cdot t}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{20} = k^{-0,004\cdot t}[/tex3]

Podemos aplicar [tex3]\log _k[/tex3] nos dois lados:

Apliquei [tex3]\log [/tex3] na base [tex3]k[/tex3] para ficar de acordo com os dados do exercício

[tex3]log_k\frac{1}{20} = log_kk^{-0,004\cdot t}[/tex3]
[tex3]log_k0,05 = {-0,004\cdot t}[/tex3], substituindo [tex3]log_k0,05 [/tex3] por [tex3]{\color{red}-3}[/tex3]
[tex3]-3=-0,004\cdot t[/tex3]
[tex3]t=\boxed{750}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3] Fazendo [tex3](k^{-3})^2[/tex3]:

[tex3](k^{-3})^2=\left(\frac{1}{20}\right)^2\rightarrow k^{-6}=\frac{1}{400}[/tex3]

[tex3]x(t)=80\cdot k^{-0,004\cdot t}[/tex3]
[tex3]x(t)=80\cdot k^{-0,004\cdot 500}[/tex3]
[tex3]x(t)=80\cdot k^{-2}[/tex3]
[tex3]\frac{x(t)}{80}= k^{-2}[/tex3]
[tex3]\left(\frac{x(t)}{80}\right)^3= (k^{-2})^3[/tex3]
[tex3]\frac{x(t)^3}{80^3}= k^{-6}[/tex3]
[tex3]\frac{x(t)^3}{80^3}= \frac{1}{400}[/tex3]
[tex3]x(t)^3= \frac{80^3}{400}[/tex3]
[tex3]x(t)^3= \frac{512000}{400}[/tex3]
[tex3]x(t)^3= 1280[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

[tex3]x(t)\boxed{\approx11}[/tex3]