Ensino Superior ⇒ Ângulo entre Retas no Espaço Tópico resolvido

[aprendiz123]

Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas:
[tex3]r: \frac{x-2}{4}=\frac{y+4}{5}=\frac{z}{3} \\
\\
\\
s:\\
y=nx +5\\
z=2x-2[/tex3]

Resposta:

---

7 ou 1

[tex3]\,[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

Um vetor diretor de r é:

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 4 , 5 , 3 ).


Vamos determinar agora, um vetor diretor para s, temos:

Fazendo x = 0 , substituindo na equação reduzida da reta s, vem;

y = n.0 + 5 → y = 5 e z = 2.0 - 2 → z = - 2.

Daí;

A = ( 0 , 5 , - 2 )


Fazendo x = 1, vem;

y = n.1 + 5 → y = n + 5 e z = 2.1 - 2 → z = 0.

Daí;

B = ( 1 , n + 5 , 0 ).

Então;

[tex3]\vec{AB}=B-A=(1,n+5,0)-(0,5,-2)[/tex3]

[tex3]\vec{AB}=\vec{u}=(1,n,2)[/tex3]→ vetor diretor da reta s.

Assim;

[tex3]cos\theta =\frac{\vec{u}.\vec{v}}{||\vec{u}||.||\vec{v}||}[/tex3]

[tex3]cos30°=\frac{(1,n,2).(4,5,3)}{\sqrt{1^2+n^2+2^2}.\sqrt{4^2+5^2+3^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4+5n+6}{\sqrt{5+n^2}.\sqrt{50}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5n+10}{5\sqrt{10+2n^2}}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{n+2}{\sqrt{10+2n^2}}[/tex3]

√( 30 + 6n² ) = 2n + 4

Quadrando ambos os lados, resulta;

30 + 6n² = 4n² + 16n + 16

2n² - 16n + 14 = 0 ÷ 2

n² - 8n + 7 = 0

n² - 7n - n + 7 = 0

n.( n - 7 ) - 1.( n - 7 ) = 0

( n - 7 ).( n - 1 ) = 0

n - 7 = 0 → n = 7

Ou

n - 1 = 0 → n = 1



Portanto , os valores de n são: n = 7 ou n = 1.



Bons estudos!