Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Octaedro e Cubo

[challenge]

Qual o volume de um octaedro regular inscrito em um cubo de aresta [tex3]2 \text{u.c}?[/tex3]

[adrianotavares]

O octaedro regular é o sólido formado pela justaposição de duas pirâmides quadradas de base [tex3]\ell[/tex3] e altura igual a [tex3]\frac{\ell\sqrt{2}}{2}.[/tex3]

Os vértices de um octaedro inscrito num cubo são os centros das faces do cubo.

• 

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Como a aresta do cubo mede [tex3]2,[/tex3] [tex3]\overline{AC}=\overline{AB}=\frac{2}{2}=1.[/tex3] Assim, [tex3]\ell = \overline{BC}=\sqrt{2}.[/tex3]

Portanto, o volume do octaedro é

• [tex3]2\cdot \frac{1}{3}\cdot \ell^2\cdot \frac{\ell\sqrt{2}}{2}=\frac{\ell^3\sqrt{2}}{3}=\frac{(\sqrt{2})^4}{3}=\text{\frac{4}{3}u.v.}[/tex3]