Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2002) Geometria Analítica: Cônicas

[rodri200go]

O número de pontos de interseção das curvas [tex3]x^2+y^2=4[/tex3] e [tex3]\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{2}=1[/tex3] é igual a:

[tex3]\text{a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6}[/tex3]

Resposta:

---

c

[fabit]

A primeira representa circunferência de raio [tex3]2[/tex3] centrada na origem.
A segunda representa elipse, também centrada na origem, que se estica [tex3]\sqrt{15}[/tex3] pra cada lado na horizontal e [tex3]\sqrt{2}[/tex3] pra cada lado na vertical.

Como [tex3]\sqrt{2}<2<\sqrt{15},[/tex3] as curvas se entrelaçam [tex3]2[/tex3] vezes em cada semi-plano considerado, portanto [tex3]4[/tex3] vezes ao todo.

[rodri200go]

Olá Fabit, não entendi bem quais são esses semi-planos.

[fabit]

As cônicas são simétricas em relação aos seus eixos. Como ambas estão centradas na origem e com eixos paralelos aos coordenados, os próprios eixos coordenados são suporte dos eixos das cônicas. Cada eixo divide o plano cartesiano em dois semi-planos. Se você pensar no eixo dos [tex3]x,[/tex3] os semi-planos considerados são o "superior" [tex3](y>0)[/tex3] e o "inferior" [tex3](y<0).[/tex3] Se considerar o eixo dos [tex3]y,[/tex3] os semi-planos são o "da esquerda" [tex3](x<0)[/tex3] e "da direita" [tex3](x>0).[/tex3] Tanto faz, em cada divisão que você fizer, as raízes serão [tex3]2[/tex3] num semi-plano e outras [tex3]2[/tex3] no semi-plano oposto. Total [tex3]4[/tex3] sempre.

Pegou?

[rodri200go]

Obrigado.