Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2008) Progressão Aritmética e Média Aritmética

[Doug]

Um professor de Matemática escreve no quadro os n primeiros termos de uma progressão aritmética:

• [tex3]{-}50,\, - 46,\, -42, \ldots, a_n[/tex3]

Se esse professor apagar o décimo termo dessa seqüência, a média aritmética dos termos restantes será [tex3]23.[/tex3]
Calcule o termo [tex3]a_n .[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, Doug.

Primeiro vamos calcular o [tex3]n-[/tex3] ésimo termo da progressão:

• [tex3]r = -50- (-46)= 4.[/tex3]
  
  [tex3]a_n = -50 + (n - 1)\cdot r = -50 + (n -1)\cdot 4 = 4n - 54.[/tex3]

A soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos da PA é dada por

• [tex3]S_n=\frac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} = \frac{(-50 + 4n - 54)\cdot n}{2} = 2n^2 - 52n.[/tex3]

• [tex3]a_{10} = a_1 + 9\cdot r = -50 + 36 = -14[/tex3]

• [tex3]\frac{S_n- a_{10}}{n-1} = 23\Longrightarrow 2n^2-75n+37=0\Longrightarrow n=37.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]a_n = 4n - 54 =4\cdot 37 - 54=94.[/tex3]