Ensino Médio ⇒ Função inversa (trigonométrica) Tópico resolvido

[drfritz]

oi bom dia a todos.
Quantos e quais elementos satisfazem a equação [tex3]\arcsen 2x -3\cdot\arcsen x=0 [/tex3] MACK - 1975 (Não tenho o gabarito),

[csmarceloMOD]

Seja

[tex3]\alpha=\arcsen x[/tex3]
[tex3]\beta=\arcsen 2x[/tex3]

Se

[tex3]\arcsen 2x=3\cdot\arcsen x[/tex3]

Então

1) [tex3]\beta=3\alpha[/tex3]
2) [tex3]sin\beta=2\cdot\sin\alpha[/tex3]

Logo,

[tex3]sin(3\alpha)=2\cdot\sin\alpha[/tex3]

Do arco triplo

[tex3]3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=2\cdot\sin\alpha[/tex3]

Uma solução é [tex3]\sin\alpha=x=0[/tex3], afinal, teremos [tex3]0-0=0[/tex3].

Agora, para [tex3]\sin\alpha\neq0[/tex3], podemos dividir tudo por [tex3]\sin\alpha[/tex3] e, com simples manipulação algébrica, concluímos que

[tex3]\sin\alpha=x=\pm\frac{1}{2}[/tex3]