Ensino Superior ⇒ Problema das chaves Tópico resolvido

[irwingato]

Um chaveiro foi contratado para fazer cópias das chaves de 10 salas, ele entretanto, não as etiquetou, e viu-se obrigado a repor as chaves por tentativas. Quantas tentativas, no máximo deverá fazer?
Eu fiz por combinação
10!/2!(10-2)!
10.9.8!/2!.8!
10.9/2
90/2
45

Pode fazer por combinação ou está errado? E somente por soma das tentativas de cada chave? Se sim porque soma ao invés de multiplicar igual no outros exercícios de contagem?

[csmarceloMOD]

Esse exercício é de lógica ou de PA, não de análise combinatória.

Combinações e arranjos nos dizem quantas são as maneiras de se fazer algo, de quantas maneiras podemos combinar/arranjar coisas de uma determinada forma.

Só existe uma forma de se abrir cada uma das portas e o que se quer saber é o pior cenário, ou seja, aquele em que é necessário o maior número de tentativas, para encontrar a chave de cada uma delas.

No pior cenário, ele fará 10 tentativas na primeira porta; 9 tentativas na segunda porta; 8 na terceira...

Assim, acredito eu, o total de tentativas é igual à soma dos termos da PA finita onde [tex3]a_{1}=1[/tex3], [tex3]a_{10}=10[/tex3] e [tex3]r=1[/tex3], ou, simplificando, a soma dos 10 primeiros inteiros positivos.

[irwingato]

No pior cenário ele fará 9 tentativas pois a 10 é a certa depois 8,depois 7 assim sucessivamente até chegar o 1 e somar tudo a resposta é 45 não é uma soma de PA

[csmarceloMOD]

Você está afirmando que a resposta é 45 ou supondo? Porque eu também pensei dessa forma, mas, no fim das contas, não sabia se fazia sentido.

[irwingato]

Está no gabarito, só perguntei se podia fazer por combinação e se não o porque

[csmarceloMOD]

Hum, eu entendi a lógica, mas não sei se estou convencido...

Suponha que você tenha duas chaves, uma delas abre uma porta, a outra não. Do outro lado da porta tem um prêmio e você tem apenas uma tentativa para abrir a porta.

Você escolhe a chave errada. Você perdeu o prêmio porque gastou a sua única tentativa ou ganhou o prêmio, porque a segunda chave é a certa e, portanto, não conta como tentativa??

De qualquer forma, ainda é uma PA, mas [tex3]a_1=9[/tex3] e [tex3]a_10=0[/tex3].

Mas não vejo sentido em combinar 10 chaves, duas a duas...

[csmarceloMOD]

MateusQqMD, o que acha?

[MateusQqMDMOD]

Eu concordo com o csmarcelo, irwingato. A combinação nos fornece quantos subconjuntos com [tex3]p[/tex3] elementos nós conseguimos formar a partir de [tex3]n[/tex3] deles. Em relação ao gabarito, eu também tinha ficado meio na dúvida em um primeiro momento, mas acredito que redigindo a pergunta do enunciado a resposta fica mais clara:

"quantas tentativas são necessárias, no máximo, para sabermos se uma chave é a correta para cada porta?"

Usando o exemplo do caso que nós temos uma porta e duas chaves, para visualização, acredito que nós precisamos de apenas uma tentativa, pois ela já será suficiente para determinarmos qual é a chave correta daquela porta: se a chave escolhida para essa tentativa abrir a porta, ok!; se a chave escolhida não abrir a porta, a outra chave é a correta (supondo, claro, que uma das duas abre a porta). O raciocínio é análogo partindo do início, quando temos 10 portas e 10 chaves, como vocês já mostraram acima. Daí a resposta ficaria [tex3]9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45[/tex3].

irwingato, acredito que o valor encontrado por combinação foi apenas coincidência. Em relação à PA, é porque cada parcela da soma [tex3]9 + 8 + ... + 2 + 1[/tex3] pode ser escrita a partir de um anterior, somando ou subtraindo [tex3]1[/tex3] do antecessor (isso vai depender de onde você parte), ou seja, a diferença entre dois termos consecutivos é a mesma, por isso PA.

[csmarceloMOD]

Tem razão. Ele não precisa abrir as portas, apenas saber qual é a correta para repô-la.