Ensino Médio ⇒ Logaritmos Decimais

[Natan]

Quantos algarismos têm a potência [tex3]40^{40}?[/tex3]

a) [tex3]40[/tex3]
b) [tex3]50[/tex3]
c) [tex3]60[/tex3]
d) [tex3]65[/tex3]
e) [tex3]1600[/tex3]

[edu_landim]

Para saber o número [tex3]n[/tex3] de algarismo de um número [tex3]N[/tex3] basta calcularmos o logaritmo decimal de [tex3]N.[/tex3] Se o resultado for inteiro, esse será o valor de [tex3]n;[/tex3] caso o resultado não seja inteiro, [tex3]n[/tex3] será o inteiro imediatamente superior.

• [tex3]\begin{array}{rl} \log40^{40}&=\log(4^{40}\cdot10^{40})\\
  &=\log4^{40}+\log10^{40} \\
  &=\log2^{80}+40 \\
  &=80\cdot \log2 +40 \\
  &=80 \cdot 0,301 +40\\
  &= 24,08+40\\
  &=\,64,08
  \end{array}[/tex3]

Utilizamos [tex3]\log2\approx 0,301.[/tex3]

Assim podemos concluir que [tex3]n=65.[/tex3]