Ensino Fundamental ⇒ [Portal da Matemática] Múltiplos e divisores - 2 Tópico resolvido

[seawo]

Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com os múltiplos de 6 ou 8. Determine:

a) o número que aparece na vigésima página do livro.
b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.

Resposta

---

a) O número 80
b) O livro tem 219 páginas

[Planck]

Olá seawo,

Na alternativa [tex3]a)[/tex3] podemos fazer de dois jeitos, do modo bruto e do modo técnico. Mas inicialmente, devemos notar que as páginas vão alternar entre múltiplos de [tex3]6[/tex3] e [tex3]8[/tex3] e, consequentemente, teremos múltiplos em comum. No primeiro modo, basta escrevermos os múltiplos, nos atentando para não errar os múltiplos em comum entre [tex3]6[/tex3] e [tex3]8[/tex3]. Considerando que o livro começa na página 6, temos:

[tex3]6,8,12,16,18,24,30,32,36,40,42...[/tex3]

Seguindo a lógica, nota-se que o vigésimo termo é [tex3]20.[/tex3]

Agora, de modo mais analítico note a P.A.:

[tex3]6,{\color{red}8},12,{\color{red}16},18,{\color{red}24},30,{\color{red}32},36,{\color{red}40},42...[/tex3]

Coincidentemente, os termos pares da primeira sequência são os termos da P.A. de razão [tex3]8:[/tex3]

[tex3]a_1=6[/tex3]
[tex3]{\color{red}a_2=8}[/tex3]
[tex3]a_3=12[/tex3]
[tex3]{\color{red}a_4=16}[/tex3]
[tex3]a_5=18[/tex3]
[tex3]{\color{red}a_6=24}[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]{\color{red}a_{20}=?}[/tex3]

Na P.A. de razão [tex3]8[/tex3] o [tex3]a_{10}[/tex3] será o [tex3]a_{20}[/tex3] da sequência geral que observamos acima. Portanto:

[tex3]a_{10}=8+(10-1)\cdot 8[/tex3]
[tex3]a_{10}=8+9\cdot 8[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{10}=80\rightarrow a_{20}=80}[/tex3]

Na alternativa [tex3]b)[/tex3] podemos seguir um raciocínio utilizando a P.A. de razão [tex3]8[/tex3]. Note que ao utilizarmos essa P.A., estamos contando somente metade das páginas. Podemos aplicar a fórmula do termo geral novamente para descobrir qual o número de páginas que são múltiplos de [tex3]8[/tex3] e, após isso, multiplicar por [tex3]2[/tex3] para encontrar o total de páginas:

Exemplo

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Se o livro tivesse 10 páginas:

[tex3]6,8,12,16,18,24,30,32,36,40.[/tex3]

P.A. de razão [tex3]8[/tex3]

[tex3]8,16, 24, 32,40.[/tex3]

Perceba que, com a P.A. de razão [tex3]8[/tex3] contamos apenas a metade das páginas, para descobrir o total, basta multiplicar por [tex3]2.[/tex3]

[tex3]876=8+(n-1) \cdot8[/tex3]
[tex3]868=8\cdot n-8[/tex3]
[tex3]n=109,5[/tex3]

Com esse resultado de [tex3]n[/tex3] sabemos qual a metade do número de páginas, que certamente é ímpar, do contrário [tex3]n[/tex3] seria exato. Para encontra o total, vamos fazer o seguinte:

[tex3]2\cdot n[/tex3]
[tex3]2\cdot 109,5[/tex3]
[tex3]\boxed{219 \text{ páginas}}[/tex3]