IME / ITA ⇒ (ITA - 1989) Geometria Plana: Área do Círculo Tópico resolvido

[jreis]

Se o perímetro de um triângulo inscrito num circulo medir [tex3]20x \text{ cm}[/tex3] e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a [tex3]x,[/tex3] então a área do circulo, em [tex3]\text{cm}^2[/tex3] será igual a

a) [tex3]50\pi[/tex3]
b) [tex3]75\pi[/tex3]
c) [tex3]100\pi[/tex3]
d) [tex3]125\pi[/tex3]
e) [tex3]150\pi[/tex3]

[jgpret]

Sejam [tex3]a, b \text{ e } c[/tex3] os lados do triângulo.

Pela lei dos Senos temos

• [tex3]\frac{a}{\text{sen} \widehat{A}} =\frac{b}{\text{sen} \widehat{B}} = \frac{c}{\text{sen} \widehat{C}} = 2R\Longrightarrow \frac{a+b+c}{sen \widehat{A} + sen \widehat{B}+sen \widehat{C}} = 2R.[/tex3]

Como [tex3]a+b+c=20x \text{ e } \text{sen} \widehat{A} + \text{sen} \widehat{B}+\text{sen} \widehat{C}=x,[/tex3] segue que

• [tex3]\frac{20x}{x}=2R \Longrightarrow R=10\text{ cm}.[/tex3]

Portanto, a área do círculo é

• [tex3]\pi R^2 = 100 \pi \text{ cm}^2.[/tex3]

Letra (c).