Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2008) Geometria Analítica: Reta Tópico resolvido

[Doug]

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo cujos vértices, em coordenadas cartesianas, são [tex3]A = (1, 0), B = (3, 0)[/tex3] e [tex3]C = (2, 1).[/tex3]

Calcule a inclinação [tex3]m[/tex3] da reta que passa pelo ponto [tex3](0, 0)[/tex3] e divide esse triângulo em duas regiões de áreas iguais.

[fabit]

A área de [tex3]ABC[/tex3] é [tex3]\frac{2\cdot 1}{2}=1 .[/tex3] Pra dividir em áreas iguais tem que ficar [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] acima da reta [tex3]y=mx[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] abaixo dela.

Equações respectivas de [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC:[/tex3] [tex3]y=x-1[/tex3] e [tex3]y=3-x.[/tex3]

Portanto a reta [tex3]y=mx[/tex3] cruza [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC,[/tex3] respectivamente em [tex3]P=\(\frac{1}{1-m},\frac{m}{1-m}\)[/tex3] e [tex3]Q=\(\frac{3}{1+m},\frac{3m}{1+m}\)[/tex3]

Devemos igualar a [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] a área do triângulo [tex3]CPQ.[/tex3] Mas antes, divido [tex3]CPQ[/tex3] em dois triângulos pela reta [tex3]x=1,[/tex3] que determina o ponto [tex3]T=(1,m)[/tex3] sobre a reta [tex3]y=mx,[/tex3] crendo que assim farei menos contas, pois uso para base dos triângulos [tex3]PTC[/tex3] e [tex3]QTC[/tex3] o segmento [tex3]TC[/tex3] de comprimento [tex3]1-m[/tex3] e a altura de cada triângulo é a diferença de abscissas. Além disso, ao colocar [tex3]\frac{TC}{2}[/tex3] em evidência (pois teríamos de somar os triângulos), as alturas se somam e ficamos com a diferença de abscissas apenas entre [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q.[/tex3]

Vamos lá:

Área de [tex3]PTC:[/tex3] [tex3]\frac{(1-m)\cdot (x_T-x_P)}{2}[/tex3]
Área de [tex3]QTC:[/tex3] [tex3]\frac{(1-m)\cdot(x_Q-x_T)}{2}[/tex3]
Área de [tex3]CPQ:[/tex3] [tex3]\frac{(1-m)\cdot(\cancel{x_T}-x_P+x_Q-\cancel{x_T})}{2}=\frac{1-m}{2}\cdot\(\frac{3}{1+m}-\frac{1}{1-m}\)[/tex3]

Fica

• [tex3]\frac{1}{\cancel{2}}=\frac{\cancel{1-m}}{\cancel{2}}\(\frac{3(1-m)-1(1+m)}{(1+m)\cancel{(1-m)}}\)\Rightarrow1+m=3-3m-1-m\Rightarrow4m+m=2-1[/tex3]

Então [tex3]m=0,2 \text{ ou } m=\frac{1}{5}.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Olá fabit,

Encontrei um resultado diferente.

• 

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• [tex3][ABC]=\frac{1}{2}\cdot \overline{AB}\cdot \overline{CH}=1[/tex3]

Logo,

• [tex3][CDE]=[ADEB]=\frac{1}{2}.[/tex3]

A equação da reta [tex3]DE[/tex3] é [tex3]y=mx,[/tex3] com [tex3]m>0.[/tex3]

• [tex3]DE\cap AC=D=\left(\frac{1}{1-m}, \frac{m}{1-m}\right)[/tex3]

• [tex3]DE\cap BC=E=\left(\frac{3}{1+m}, \frac{3m}{1+m}\right)[/tex3]

• [tex3][CDE]=\frac{1}{2}\cdot \left|\left|\begin{array}{cccc}
  2& \frac{1}{1-m}&\frac{3}{1+m} &2\\
  1 & \frac{m}{1-m}& \frac{3m}{1+m}& 1 \end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\Longrightarrow m=\frac{4-\sqrt{7}}{9}[/tex3]

Note que o coeficiente angular da reta [tex3]OC[/tex3] é [tex3]\frac{1}{2}.[/tex3] Logo [tex3]0<m<\frac{1}{2}.[/tex3]

[Doug]

Questão dificil.

Karl como você fez para descobrir as coordenadas de [tex3]D[/tex3] e [tex3]E?[/tex3]
Muito obrigado fabit e Karl Weierstrass pela ajuda de vocês.
Abraço e t+.

[Karl Weierstrass]

Olá Doug,

Sabemos as coordenadas de [tex3]A[/tex3] e [tex3]C.[/tex3] Encontre a equação da reta [tex3]AC.[/tex3]
A equação da reta [tex3]DE[/tex3] é [tex3]y=mx.[/tex3]
Resolva o sistema formado pelas equações das retas [tex3]DE[/tex3] e [tex3]AC.[/tex3]
A solução do sistema nada mais é do que o ponto [tex3]D.[/tex3]
Proceda da mesma forma (como indicado) para o ponto [tex3]E.[/tex3]

[fabit]

Já vi meu erro. Na figura do Karl, a reta [tex3]CH[/tex3] é a que uso para fazer menos contas, mas eu a usei como se fosse a reta [tex3]x=1,[/tex3] mas na verdade é [tex3]x=2[/tex3] (pois passa verticalmente pelo ponto [tex3]C).[/tex3]

Conseqüentemente, [tex3]T=(2,2m)\Rightarrow\overline{TC}=1-2m.[/tex3]

Aí, em vez de

• [tex3]\frac{1}{\cancel{2}}=\frac{\cancel{1-m}}{\cancel{2}}\(\frac{3(1-m)-1(1+m)}{(1+m)\cancel{(1-m)}}\)\Rightarrow1+m=3-3m-1-m\Rightarrow4m+m=2-1[/tex3]

Então [tex3]m=0,2 \text{ ou } m=\frac{1}{5}.[/tex3]

temos o seguinte:

• [tex3]\frac{1}{\cancel{2}}=\frac{1-2m}{\cancel{2}}\(\frac{3(1-m)-1(1+m)}{(1+m)(1-m)}\)\Rightarrow1-m^2=(1-2m)(3-3m-1-m)\Rightarrow1-m^2=(1-2m)(2-4m)[/tex3]

ou

• [tex3]1-m^2=2(1-2m)^2=2(4m^2-4m+1)\Rightarrow1-m^2=8m^2-8m+2\Rightarrow9m^2-8m+1=0[/tex3]

• [tex3]\triangle=64-4\cdot 9\cdot 1=64-36=28[/tex3]

• [tex3]m=\frac{8\pm\sqrt{4\cdot 7}}{2\cdot 9}=\frac{8\pm2\sqrt{7}}{2\cdot 9}=\frac{\cancel{2}(4\pm\sqrt{7})}{\cancel{2}\cdot 9}[/tex3]

Uma das raízes (aquela indicada pelo Karl) serve. A outra é descartada. O critério de descarte é o que o Karl indicou: [tex3]0<m<0,5.[/tex3]

Interessante deve ser o que representa o [tex3]m[/tex3] que se descartou. Aposto que ele determina um triângulo de área [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] formado por [tex3]C[/tex3] e pelos cruzamentos da reta [tex3]y=mx[/tex3] com os prolongamentos dos lados [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC.[/tex3]