IME / ITA ⇒ (EN - 1983) Integral: Área Tópico resolvido

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A área da região hachurada na figura acima é igual a:

a) [tex3]2.[/tex3]
b) [tex3]1.[/tex3]
c) [tex3]e^2.[/tex3]
d) [tex3]1+\ell n 2.[/tex3]
e) [tex3]\ell n 2.[/tex3]

[fabit]

A reta que passa na origem e intersecta a hipérbole no ponto de abscissa [tex3]x=1[/tex3] é [tex3]y=x.[/tex3]

A reta que intersecta a hipérbole no ponto de abscissa [tex3]x=2[/tex3] é [tex3]y=\frac{x}{4}.[/tex3]

A área limitada pela hipérbole e pelas duas retas é dada por:

• [tex3]\begin{array}{rl} \int_0^1\left(x-\frac{x}{4}\right)dx+\int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{4}\right)dx&=\frac{3}{4}\cdot \int_0^1 x dx+\int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{4}\right)dx\\
  &=\frac{3}{4}\cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1+\left[\ell n x -\frac{x^2}{8}\right]_1^2\\
  &=\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)+\left(\ell n 2 -\frac{2^2}{8}-\ell n 1+\frac{1^2}{8}\right) \\
  &=\frac{3}{8}+\ell n 2-\frac{3}{8} \\
  &=\ell n 2.
  \end{array}[/tex3]

Letra (e).