Pré-Vestibular ⇒ (UFPE - 1997) Inequações do 1º Grau Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Uma pessoa alimenta seu cão combinando o conteúdo de duas marcas de rações preparadas pelos fabricantes [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y .[/tex3] A tabela abaixo discrimina a quantidade de unidades de vitaminas e de sais minerais em cada saco de ração e a quantidade mínima de unidades que o cão deve consumir:

[tex3]\begin{array}{|r|c|c|c|}\hline & \text{Ração } X & \text{Ração } Y &\text{Mínimo}\\
\hline \text{Vitaminas}& 40 & 20 &200 \\
\hline \text{Sais minerais}& 20 & 40 & 200\\
\hline \end{array}[/tex3]

Se o saco da ração [tex3]X[/tex3] custa [tex3]\text{R\$ 10,00}[/tex3] e o da [tex3]Y[/tex3] custa [tex3]\text{R\$ 15,00,}[/tex3] determine o inteiro mais próximo do total de sacos a serem comprados de modo a minimizar os custos e satisfazer as quantidades mínimas requeridas.

Resposta:

---

[tex3]7[/tex3] sacos

[fabit]

Programação Linear Inteira!

Um assunto difícil, do ponto de vista geral. No entanto, com apenas duas variáveis de decisão não fica tão difícil.

Começando pela função objetivo (custo): [tex3]C(x,y)=10x+15y[/tex3]

Ela está sujeita às restrições [tex3]\begin{cases}40x+20y\geq200 \\20x+40y\geq200 \end{cases}[/tex3]

onde [tex3]x[/tex3] é o número de unidades (sacos) da ração [tex3]X[/tex3] e [tex3]y[/tex3] é o número de sacos da ração [tex3]Y.[/tex3]

Reescrevendo tudo, [tex3]C(x,y)=5(2x+3y),[/tex3] sujeito a

• [tex3]\begin{cases}
  2x+y \geq 10 \Rightarrow y \geq 10-2x \\
  x+2y\geq10\Rightarrow y \geq 5 - \frac{x}{2}
  \end{cases}[/tex3]

A figura abaixo mostra a região de viabilidade com as restrições e três curvas de nível da função objetivo. Marquei os pontos rotulados de [tex3]A[/tex3] a [tex3]I[/tex3] para facilitar:

• 

  A(10,0), B(8,1), C(6,2) e D(4,3) sobre y=5-x/2; E(3,4), F(2.5,5), G(2,6), H(1,8) e I(0,10) sobre y=10-2x, além das curvas de nível 10x+15y=85 (passando por D), 10x+15y=90 (por C e E) e 10x+15y=150 (por I)

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Fica claro que o melhor ponto é o [tex3]D,[/tex3] no qual se compra [tex3]4[/tex3] de [tex3]X[/tex3] e [tex3]3[/tex3] de [tex3]Y,[/tex3] num total de [tex3]7[/tex3] sacos.