IME / ITA ⇒ (EPCAR - 1988) Geometria Plana: Área de um Quadrilátero Tópico resolvido

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Na figura acima, os raios dos círculos concêntricos medem [tex3]6\text{ cm e }10\text{ cm}.[/tex3] A área da figura sombreada vale, em [tex3]\text{cm}^2:[/tex3]

a) [tex3]42.[/tex3]
b) [tex3]90.[/tex3]
c) [tex3]45\sqrt{3}.[/tex3]
d) [tex3]75\sqrt{3}.[/tex3]
e) [tex3]120\sqrt{3}.[/tex3]

[fabit]

A área procurada é a soma das áreas de 3 pipas (esse quadrilátero de diagonais perpendiculares em que uma delas corta a outra pelo ponto médio é chamado, em inglês, de kite).

A área de um kite é dada por [tex3]\frac{D\cdot d}{2},[/tex3] onde [tex3]D \text{ e } d[/tex3] são as diagonais.

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Como o triângulo [tex3]OAB[/tex3] é equilátero, [tex3]d=\overline{AB}=6\text{ cm}.[/tex3] [tex3]OC[/tex3] é o raio da circunferência maior, logo [tex3]D=\overline{OC}=10\text{ cm.}[/tex3]
Assim,

• [tex3][OACB]=\frac{10\cdot 6}{2}=30\text{ cm}^2.[/tex3]

Portanto, a área pedida é [tex3]3\cdot 30=90\text{ cm}^2.[/tex3]

Letra (b).