Ensino Médio ⇒ Trigononometria: Arco Duplo Tópico resolvido

[janson]

Seja [tex3]\sin x +\cos x=a.[/tex3] Calcule [tex3]\sin^3x + \cos^3 x.[/tex3]

[fabit]

• [tex3]\sin^3 x+\cos^3x=(\sin x+\cos x )(\sin^2 x-\sin x \cos x+\cos^2 x )=a\cdot (1-\sin x \cos x )[/tex3]

Por outro lado,

• [tex3]a^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x \Rightarrow a^2=1+2\sin x \cos x \Rightarrow \sin x\cos x=\frac{a^2-1}{2},[/tex3]

que usaremos para eliminar o produto seno-cosseno que ficou pra trás na primeira expressão:

• [tex3]\sin^3 x+\cos^3 x=a\cdot \left(1-\frac{a^2-1}{2}\right)=a\cdot \frac{2-a^2+1}{2}[/tex3]

Finalmente:

• [tex3]\sin^3 x+\cos^3 x=\frac{3a-a^2}{2}[/tex3]

Bela questão!