IME / ITA ⇒ (CN - 1960) Geometria Plana: Área de um Hexágono Regular Tópico resolvido

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Na figura, [tex3]ABCDEF[/tex3] é um hexágono regular com [tex3]5\text{ cm}[/tex3] de lado, [tex3]\overline{AA'}=\overline{BB'}=\overline{CC'}=\overline{EE'}=\overline{FF'}=5\text{ cm.}[/tex3]
Calcule a área do hexágono [tex3]A'B'C'D'E'F'.[/tex3]

a) [tex3]\frac{75\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2.[/tex3]
b) [tex3]\frac{225\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2.[/tex3]
c) [tex3]100\sqrt{3}\text{ cm}^2.[/tex3]
d) [tex3]125\sqrt{3}\text{ cm}^2.[/tex3]
e) [tex3]25\sqrt{3}\text{ cm}^2.[/tex3]

[jgpret]

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Sabendo que o ângulo interno de um hexágono regular vale [tex3]120^\circ,[/tex3] temos que [tex3]F'\widehat{A}A'=180^\circ-120^\circ=60^\circ.[/tex3]
Como o triângulo [tex3]AA'F'[/tex3] é retângulo em [tex3]A',[/tex3] vem

• [tex3]\text{tg}60^\circ =\frac{\overline{A'F'}}{\overline{AA'}}\Longrightarrow \overline{A'F'}=5\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]

Mas o hexágono [tex3]A'B'C'D'E'F'[/tex3] é regular, logo, sua área é dada por

• [tex3]\frac{3\cdot \overline{A'F'}^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot (5\sqrt{3})^2\cdot\sqrt{3} }{2}=\frac{225\sqrt{3}}{2}\text{ cm}^2.[/tex3]