Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Funções Trigonométricas | Imagem Tópico resolvido

[janson]

Calcule [tex3]m[/tex3] de modo que exista [tex3]x[/tex3] satisfazendo a igualdade [tex3]\sin x=\frac{m+2}{2m-1}.[/tex3]

[fabit]

A imagem da função seno é o intervalo [tex3][-1,1].[/tex3]

• [tex3]{-}1\leq\frac{m+2}{2m-1}\leq1\Rightarrow-2\leq\frac{2m+4}{2m-1}\leq2\Rightarrow-2\leq\frac{2m-1+5}{2m-1}\leq2[/tex3]
  
  [tex3]{-}2\leq\frac{2m-1}{2m-1}+\frac{5}{2m-1}\leq2\Rightarrow-2\leq1+\frac{5}{2m-1}\leq2\Rightarrow-3\leq\frac{5}{2m-1}\leq1[/tex3]
  
  [tex3]{-}3\leq\frac{5}{2}\times\frac{1}{m-\frac{1}{2}}\leq1\Rightarrow -3\times\frac{2}{5}\leq\frac{1}{m-\frac{1}{2}}\leq1\times\frac{2}{5}\Rightarrow -\frac{6}{5}\leq\frac{1}{m-\frac{1}{2}}\leq\frac{2}{5}[/tex3]

Para [tex3]m>\frac{1}{2}[/tex3] o termo central da desigualdade é positivo (o lado esquerdo fica automático). Segue

• [tex3]m>\frac{1}{2}\Rightarrow m-\frac{1}{2}\geq\frac{5}{2}\Rightarrow m\geq3[/tex3]

Para [tex3]m<\frac{1}{2}[/tex3] o termo central da desigualdade é negativo (o lado direito fica automático). Segue

• [tex3]m<\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{6}{5}\geq\frac{1}{\frac{1}{2}-m}\Rightarrow\frac{5}{6}\leq\frac{1}{2}-m\Rightarrow m\leq\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=\frac{3-5}{6}\Rightarrow m\leq-\frac{1}{3}[/tex3]

Resposta: [tex3]m\leq -\frac{1}{3}[/tex3] ou [tex3]m\geq 3.[/tex3]