Ensino Médio ⇒ Falta de enunciado Tópico resolvido

[RMelo]

Copio o que está no enunciado de um livro de matemática sobre um problema resolvido e, logo depois, a solução. Minha pergunta é: ele não diz, no enunciado, que a função é inversa ou coisa que o valha. Apenas, ao iniciar a solução ele põe um gráfico especificando isso.

A pergunta é: se fôssemos seguir apenas o enunciado, haveria como se descobrir que a função é inversa?

Aí vai:

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4) Dadas as funções f: IR  IR e g: IR  IR tais que fog(x) = 3x + 5 e g(x) = x + 2, determine f(x).

A partir da próxima linha é o início da solução do autor ((onde está explicitado que podemos afirmar isso, de qual cartola mágica ele tirou esse gráfico?) (não posso pôr direto no quadro, vou colocar uma url para quem tiver interesse em visualizar e me explicar)

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Solução:

Neste caso, podemos afirmar que:

arrumar.jpg (12.28 KiB) Exibido 1063 vezes

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Daí, ele continua com o óbvio:

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f(x) = [fog(x)]o[g-1(x)], como g-1(x) = x – 2
f(x)= [fog(x)]o[g-1(x)]= 3.(x – 2) + 5 = 3x – 6 + 5
f(x) = 3x – 1

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Se eu seguisse apenas o enunciado, haveria condições de chegar a essa resposta ?

[Planck]

Olá RMelo,

A pergunta é: se fôssemos seguir apenas o enunciado, haveria como se descobrir que a função é inversa?

Sim, é possível. Temos que:

[tex3]f(g(x)) =3 \cdot x +5[/tex3]

[tex3]g(x)= x + 2[/tex3]

Podemos fazer que:

[tex3]g(x)=t[/tex3]

Logo:

[tex3]t=x+2[/tex3]

[tex3]x=t-2[/tex3]

Portanto:

[tex3]f(t)=3 \cdot (t-2) +5[/tex3]

[tex3]f(t)=3 \cdot t- 6 +5[/tex3]

[tex3]f(t)=3 \cdot t- 1[/tex3]

Assim:

[tex3]\boxed{f(x)=3 \cdot x- 1}[/tex3]

[RMelo]

Boa noite, caro Planck!

Se eu fizer assim como abaixo, onde está meu erro:

fog(x) = F[g(x)] = 3x + 5

Substituindo g(x) pelo seu valor temos:

fog(x) = f[g(x)] = f(x+2) = 3(x+2) + 5 = 3x + 6 + 5 = 3x + 11

[Planck]

Boa noite, caro Planck!

Se eu fizer assim como abaixo, onde está meu erro:

fog(x) = F[g(x)] = 3x + 5

Substituindo g(x) pelo seu valor temos:

fog(x) = f[g(x)] = f(x+2) = 3(x+2) + 5 = 3x + 6 + 5 = 3x + 11

A mudança de variável não foi efetuada. Observe:

[tex3]f \circ g(x) = f(g(x)) = 3x + 5[/tex3]

É preciso associar [tex3]g(x)[/tex3] a uma variável:

[tex3]g(x)=t[/tex3]

[tex3]g(x)=x+2 \Leftrightarrow t=x+2[/tex3]

[tex3]x=t-2[/tex3]

Com isso, substituímos os termos:

[tex3]f(g(x)) = 3x + 5[/tex3]

[tex3]f(t) = 3\cdot(t-2) + 5[/tex3]

Após isso, basta trocar [tex3]t[/tex3] por [tex3]x[/tex3]