Ensino Superior ⇒ Valor Máximo de Função de 3 Variáveis Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

Calculo integral II

O valor máximo da função F(x,y,z) =xyz, sujeito a condição x²+2y²+3z²=6, é aproximadamente:

a) 0,8
b) 2,8
c) 1,2
d) 2,4
e) 1,8

[Cardoso1979]

Olá! CabeçãoMG, consegui resolver, o problema é a Net q está muito lenta ( caindo muito ), assim que ela melhorar resolverei para vc

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Para resolver o problema pelo método dos multiplicadores de Lagrange, devemos escrever a restrição x² + 2y² + 3z² = 6 na forma x² + 2y² + 3z² - 6.

A função Lagrange Ana é dada por :
L( x , y , z , λ ) = xyz - λ( x² + 2y² + 3z² - 6 ).

Derivando L em relação às quatro variáveis x , y , z e λ, temos:

[tex3]\frac{\partial L}{\partial x}=yz-2\lambda x[/tex3] ;

[tex3]\frac{\partial L}{\partial y}=xz-4\lambda y[/tex3] ;

[tex3]\frac{\partial L}{\partial z}=xy-6\lambda z[/tex3] e

[tex3]\frac{\partial L}{\partial \lambda }=-x^2-2y^2-3z^2+6[/tex3]

Igualando essas derivadas a zero, obtemos o sistema de equações:

[tex3]\begin{cases}
yz-2\lambda x=0 \ (I) \\
xz-4\lambda y=0 \ ( II ) \\
xy-6\lambda z=0 \ (III)\\
x^2+2y^2+3z^2=6 \ (IV)
\end{cases}[/tex3]

De ( I ) , vem;

x = [tex3]\frac{yz}{2\lambda }[/tex3] ( I )

De ( I I ) , vem;

x = [tex3]\frac{4\lambda y}{z }[/tex3] ( I I )

De ( I I I ) , vem;

x = [tex3]\frac{6\lambda z}{y}[/tex3] ( I I I )


De ( I ) e ( I I I ) , temos:

[tex3]\frac{y\cancel{z}}{2\lambda }=\frac{6\lambda \cancel{z }}{y}[/tex3] → y² = 12λ² ( V )

De ( I ) e ( I I ), vem;

[tex3]\frac{z\cancel{y}}{2\lambda }=\frac{4\lambda \cancel{y}}{z}[/tex3] → z² = 8λ² ( VI )

Assim, substituindo ( I ) , ( V ) e ( VI ) em ( IV ) , temos que:

[tex3]\frac{y^2z^2}{4\lambda^2 }+2.12\lambda ^2+3.8\lambda ^2=6[/tex3]

Desenvolvendo, resulta em;

[tex3]\lambda =\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3] ( [tex3]\lambda =-\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex3] é fácil de verificar o porquê não serve , no decorrer das substituições você irá perceber isso )


Substituindo o valor de λ em ( V ) , ( VI ) e ( I I ), vem;

[tex3]z^2=8.\frac{3}{36}[/tex3]→ [tex3]z=±\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex3] ;

[tex3]y^2=12.\frac{3}{36}[/tex3] → y = ± 1

ainda;

[tex3]x=\frac{4.\frac{\sqrt{3}}{6}.1}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{\cancel{3}}}{\frac{\sqrt{6}}{\cancel{3}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}[/tex3]→x = √2

Logo,

f( x , y , z ) = (√2).1.[tex3]\frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}=1,15[/tex3] ≈ 1,2.


Portanto, o valor máximo da função dada é 1,2 , alternativa c).



Bons estudos!