Ensino Superior ⇒ [Série] Calcular valor de série tendo outra como referência Tópico resolvido

[robmenas]

Olá. Estou tendo dificuldade de resolver a questão abaixo e gostaria de ajuda:

Sabe-se que [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex3], então [tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)^2}[/tex3] é igual a:

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\pi^2/8[/tex3]

[robmenas]

Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:

Expandido os somatórios,

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]

Substituindo [tex3]n[/tex3] por [tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]

Comparando os três somatórios, percebe-se que

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]

Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]

[Cardoso1979]

Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:

Expandido os somatórios,

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]

Substituindo [tex3]n[/tex3] por [tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]

Comparando os três somatórios, percebe-se que

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]

Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]