Física I ⇒ Energia cinética e curva sobrelevada Tópico resolvido

[legislacao]

(MACK) Objetivando melhorar a segurança dos automóveis nos trechos não retilíneos das estradas, independentemente do atrito entre suas rodas e o plano da pista, utiliza-se o recurso da sobrelevação da parte “externa” da pista na curva. Desta forma, tem-se uma inclinação do plano da pista em relação à horizontal. Para um automóvel descrever uma trajetória circunferencial de raio R, sem derrapar e independentemente do atrito, não poderá estar animado com qualquer velocidade; existe um valor máximo. Sendo g, o módulo do vetor aceleração gravitacional local, m a massa do automóvel e estando ele com a velocidade máxima, sua Energia Cinética é

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Resposta

---

c)

Pessoal, tentei substituir a força centrípeta na fórmula da energia cinética, mas cheguei longe de qualquer resultado. Como resolvo essa?

[Planck]

Olá legislacao,

Inicialmente, a visualização da curva sobrelevada é fundamental:

Geogebra online (31).png (36.29 KiB) Exibido 3819 vezes

Desse modo, podemos fazer que a energia cinética será:

[tex3]E_c= \frac{m \cdot v^2}{2}[/tex3]

Mas, observando a disposição das forças no carro, temos que:

[tex3]\tg \alpha = \frac{F_{cp}}{P}[/tex3]

Isolando a força centrípeta:

[tex3]F_{cp}=m \cdot g \cdot \tg \alpha[/tex3]

[tex3]m \cdot a_{cp}=m \cdot g \cdot \tg \alpha[/tex3]

[tex3]a_{cp}= g \cdot \tg \alpha[/tex3]

Sabemos que:

[tex3]a_{cp}= \frac{v^2}{R}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{v^2}{R}= g \cdot \tg \alpha[/tex3]

[tex3]v^2 = {R \cdot g \cdot \tg \alpha}[/tex3]

Podemos substituir esse resultado na fórmula da energia cinética:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{E_c= \frac{m \cdot {R \cdot g \cdot \tg \alpha}}{2}}}[/tex3]

[legislacao]

Planck, muito obrigado pela sua explicação e empenho. Eu entendi o uso das fórmulas em relação as substituições e tal, mas não entendi como você sabe que é preciso usar a relação da tangente nesse exercício. Eu quero dizer o seguinte, eu até conheço essa relação da tangente (tg = fcp/P) da curva sobrelevada, mas nunca iria imaginar que eu deveria usa-lá pra fazer essas relações e dessa forma.

Existem alguns exercícios que o pessoal comenta que é bem complicado a pessoa desenvolver o raciocínio na hora de uma prova por exemplo sem ter feito esse mesmo exercício (ou pelo menos semelhante) pelo menos uma vez na vida. Esse exercício seria um desses?

[Planck]

Planck, muito obrigado pela sua explicação e empenho. Eu entendi o uso das fórmulas em relação as substituições e tal, mas não entendi como você sabe que é preciso usar a relação da tangente nesse exercício. Eu quero dizer o seguinte, eu até conheço essa relação da tangente (tg = fcp/P) da curva sobrelevada, mas nunca iria imaginar que eu deveria usa-lá pra fazer essas relações e dessa forma.

Existem alguns exercícios que o pessoal comenta que é bem complicado a pessoa desenvolver o raciocínio na hora de uma prova por exemplo sem ter feito esse mesmo exercício (ou pelo menos semelhante) pelo menos uma vez na vida. Esse exercício seria um desses?

Quando notei as forças, e as alternativas, ficou mais claro o que iria acontecer. Se eu estivesse fazendo pela primeira vez, faria:

Geogebra online (32).png (41.09 KiB) Exibido 3812 vezes

Por semelhança, o ângulo de inclinação aparece entre [tex3]\vec F_{cp}[/tex3] e [tex3]\vec F_N.[/tex3] Desse modo, como não tenho [tex3]\vec F_N,[/tex3] tentaria usar uma relação entre os outros dois vetores. Desse modo, acabaria usando a tangente mesmo. O raciocínio de utilizar a tangente é utilizado em muitos exercícios e encurta muito o caminho e o tempo para resolver. Acredito que, em um contexto de prova, esse exercício teria que ser conhecido antes para agilizar a resolução.

[legislacao]

Acho que agora eu entendi melhor. Olhando as alternativas já se vê que será preciso fazer a relação com seno, cosseno ou tangente, e como não se sabe a hipotenusa (força normal), a única alternativa é usar a tangente. Seria esse o raciocínio, certo?

Vou aproveitar o tópico, já que é sobre o mesmo assunto, pra ver se seria possível resolver uma questão que eu andei pensando. Supondo que a figura abaixo represente a visão superior de uma estrada com 10 m de raio e que é dividida em 2 faixas de 5m cada, seria possível calcular a velocidade mínima que o veículo da faixa superior precisaria ter pra não se deslocar para faixa mais abaixo e então provocar uma colisão frontal? As setas representam o sentido de cada faixa.

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Não sei se seria preciso saber o valor da força de atrito ou o que mais. Desculpe o desenho feito no paint

[Planck]

Acho que agora eu entendi melhor. Olhando as alternativas já se vê que será preciso fazer a relação com seno, cosseno ou tangente, e como não se sabe a hipotenusa (força normal), a única alternativa é usar a tangente. Seria esse o raciocínio, certo?

Exatamente!

No exercício, podemos considerar que a velocidade mínima para o veículo não mudar de pista, será a velocidade máxima para o veículo na pista abaixo (também) não mudar de pista. Podemos usar a tangente, quando não há atrito, que é o caso:

[tex3]\tg 30º = \frac{F_{cp}}{P} [/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot m \cdot g = m \cdot \frac{v^2}{R}[/tex3]

[tex3]\boxed{v= \sqrt{R \cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}}[/tex3]

Nesse caso, você consideraria [tex3]R=5[m][/tex3], pois, como observamos no início, a velocidade mínima para o carro na faixa superior mudar de pista, será igual a velocidade máxima para o carro na faixa inferior mudar de pista.

[legislacao]

Acho que agora eu entendi melhor. Olhando as alternativas já se vê que será preciso fazer a relação com seno, cosseno ou tangente, e como não se sabe a hipotenusa (força normal), a única alternativa é usar a tangente. Seria esse o raciocínio, certo?

Exatamente!

No exercício, podemos considerar que a velocidade mínima para o veículo não mudar de pista, será a velocidade máxima para o veículo na pista abaixo (também) não mudar de pista. Podemos usar a tangente, quando não há atrito, que é o caso:

[tex3]\tg 30º = \frac{F_{cp}}{P} [/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot m \cdot g = m \cdot \frac{v^2}{R}[/tex3]

[tex3]\boxed{v= \sqrt{R \cdot g\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}}[/tex3]

Nesse caso, você consideraria [tex3]R=5[m][/tex3], pois, como observamos no início, a velocidade mínima para o carro na faixa superior mudar de pista, será igual a velocidade máxima para o carro na faixa inferior mudar de pista.

Perfeito, entendi certinho. Caso houvesse força de atrito, seria possível resolver calculando a equação Fcp = Fat separada e colocando o resultado na fórmula da tg = Fcp/P ? Ou não tem sentido nenhum isso que eu falei?

[Planck]

Perfeito, entendi certinho. Caso houvesse força de atrito, seria possível resolver calculando a equação Fcp = Fat separada e colocando o resultado na fórmula da tg = Fcp/P ? Ou não tem sentido nenhum isso que eu falei?

Caso houvesse atrito, em um primeiro momento é preciso analisar as forças em cada eixo:

[tex3]\sum_{i=1}^{n} F_{x_n}= F_{N_x}- F_{at_x}[/tex3]

[tex3]\sum_{i=1}^{n} F_{x_n}= N \cdot \sen \theta - F_{at} \cdot \cos \theta[/tex3]

Isso será igual uma resultante centrípeta:

[tex3]F_{cp}= N \cdot \sen \theta - F_{at} \cdot \cos \theta[/tex3]

Para o eixo y:

[tex3]\sum_{i=1}^{n} F_{y_n}= F_{N_y}- F_{at_y}[/tex3]

[tex3]\sum_{i=1}^{n} F_{y_n}= N \cdot \cos\theta - F_{at} \cdot \sen \theta - P[/tex3]

Isso será nulo, pois não há aceleração no eixo y:

[tex3]0= N \cdot \cos\theta - F_{at} \cdot \sen \theta - P[/tex3]

Teremos em x:

[tex3]F_{cp}= N \cdot \sen \theta - \mu \cdot N \cdot \cos \theta[/tex3]

[tex3]F_{cp}= N \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]

Em y:

[tex3]P= N \cdot \cos\theta - \mu \cdot N \cdot \sen \theta [/tex3]

[tex3]P= N \cdot( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta) [/tex3]

Aplicando a tangente de [tex3]\theta :[/tex3]

[tex3]\tg \theta =\frac{F_{cp}}{P}[/tex3]

[tex3]\frac{\cancel N \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)}{\cancel N\cdot( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta)}=\frac{\cancel m\cdot v^2/R}{ \cancel m \cdot g}[/tex3]

[tex3]\frac{( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)}{( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta)}=\frac{v^2}{ g \cdot R}[/tex3]

[tex3]\boxed{v= \sqrt{R \cdot g \cdot \frac{( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)}{( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta)}}}[/tex3]

Aliás, essa será a velocidade mínima.

[legislacao]

Planck, muito obrigado pela resposta detalhada. Eu voltei no tópico pra ler de novo e me surgiram algumas dúvidas:

1 - Nessa parte, logo no inicio: [tex3]\sum_{i=1}^{n} F_{x_n}= F_{N_x}- F_{at_x}[/tex3]

Porque não foi considerada a componente Px da força peso, já que ela também está no eixo x? Eu entendo que o eixo x da força normal e da força de atrito é paralelo ao solo, já a componente Px da força peso é paralela ao plano inclinado, seria por isso?

2 - A força centripeta e a força peso foram definidas abaixo:
[tex3]F_{cp}= N \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)[/tex3]
[tex3]P= N \cdot( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta) [/tex3]

Até aí ok, eu só não entendi porque a força centrípeta e a força peso foram colocadas como tangente, conforme abaixo:

[tex3]\frac{\cancel N \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)}{\cancel N\cdot( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta)}=\frac{\cancel m\cdot v^2/R}{ \cancel m \cdot g}[/tex3]


Como sabemos, A tangente é cateto oposto sobre cateto adjacente, então a força centrípeta é cateto oposto e a força peso é cateto adjacente??

[Planck]

Porque não foi considerada a componente Px da força peso, já que ela também está no eixo x? Eu entendo que o eixo x da força normal e da força de atrito é paralelo ao solo, já a componente Px da força peso é paralela ao plano inclinado, seria por isso?

Foi uma questão de orientação do plano [tex3]x[/tex3] [tex3]y[/tex3]. Na orientação que coloquei, [tex3]\vec P[/tex3] já está no sentido de [tex3]y,[/tex3] desse modo, não há componente em [tex3]x.[/tex3] Observe o diagrama:

Geogebra online (40).png (65.1 KiB) Exibido 3753 vezes

Até aí ok, eu só não entendi porque a força centrípeta e a força peso foram colocadas como tangente, conforme abaixo:
[tex3]\frac{\cancel N \cdot( \sen \theta - \mu \cdot \cos \theta)}{\cancel N\cdot( \cos\theta - \mu \cdot \sen \theta)}=\frac{\cancel m\cdot v^2/R}{ \cancel m \cdot g}[/tex3]

A tangente é dada, como sabemos já, por:

[tex3]\tg \theta = \frac{F_{cp}}{P}[/tex3]

O que fiz em diante foi apenas substituições. A tangente que estamos calculando é do triângulo em azul. Note que [tex3]\angle N_1 \sim \angle \theta.[/tex3]

Geogebra online (39).png (71.74 KiB) Exibido 3753 vezes

(O desenho não ficou perfeito, por causa da inclinação que coloquei, a força centrípeta seria bem menor. Em uma situação sem atrito, ela é igual a componente [tex3]N_x.[/tex3] Por isso, no desenho, ficaram sobrepostas.)

então a força centrípeta é cateto oposto e a força peso é cateto adjacente?

Sim, foi exatamente o que fiz.