Ensino Superior ⇒ Álgebra Linear 1 - Orientação de base Tópico resolvido

[kagenizio]

Suponha que o conjunto ordenado {[tex3]\vec{u},\vec{v},\vec{w}[/tex3]} seja uma base positiva. Determinar as relações entre os números reais a, b, c, para que o conjunto ordenado {[tex3]a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}[/tex3]} seja uma base positiva.

Resposta

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[tex3]abc>0[/tex3]

[Planck]

Olá kagenizio,

Podemos transformar [tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}[/tex3] em um determinante:

[tex3]\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}= \det
\left[ \begin{array}{ccc}
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v \\
x_w & y_w & z_w\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\det A= (x_u y_v z_w + y_u z_v x_w + z_u x_v y_w)-(x_u z_v y_w + y_u x_v z_w + z_u y_v x_w)[/tex3]

[tex3]\det A = x_u y_v z_w + y_u z_v x_w + z_u x_v y_w - x_u z_v y_w - y_u x_v z_w - z_u y_v x_w)[/tex3]

Para [tex3]\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}:[/tex3]

[tex3]\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}= \det
\left[ \begin{array}{ccc}
ax_u & ay_u & az_u \\
bx_v & by_v & bz_v \\
cx_w & cy_w & cz_w\end{array} \right][/tex3]

[tex3]\det B = (abc \,x_u y_v z_w + abc \,y_u z_v x_w + abc \,z_u x_v y_w)-(abc \,x_u z_v y_w + abc \, y_u x_v z_w + abc \,z_u y_v x_w)[/tex3]

[tex3]\det B= abc \,x_u y_v z_w + abc \,y_u z_v x_w + abc \,z_u x_v y_w - abc \,x_u z_v y_w - abc \, y_u x_v z_w - abc \,z_u y_v x_w[/tex3]

[tex3]\det B= abc \cdot \det A[/tex3]

Se:

[tex3]\det A[/tex3] é positivo, como foi garantido, para [tex3]\det B[/tex3] ser positivo:

[tex3]abc >0[/tex3]

Acredito que isso seja a demonstração de uma propriedade, válida quando a base é positiva, que diz:

[tex3]\boxed{\{a\vec{u},b\vec{v},c\vec{w}\}=abc \cdot \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}}[/tex3]