Física III ⇒ [Eletromagnetismo] Campo magnético e movimento circular Tópico resolvido

[jotavictor94]

Boa noite.
Gostaria de ajuda para entender a lógica por trás da solução desta questão.

Uma partícula de carga não nula [tex3]q[/tex3] e massa [tex3]m>0[/tex3] é lançada num campo magnético constante [tex3]B[/tex3] não nulo, no espaço [tex3]Oxyz[/tex3]. O campo é paralelo ao eixo [tex3]Oz[/tex3] e a partícula é lançada de um ponto [tex3]p_0[/tex3] da esfera de centro [tex3](0,0,0)[/tex3] e raio [tex3]R_0>0[/tex3], com velocidade [tex3]v_0[/tex3]. Como é usual, considere como pólos norte e sul da esfera respectivamente os pontos [tex3](0,0,R_0)[/tex3] e [tex3](0,0,-R_0)[/tex3], ficando assim determinados seu equador, seus paralelos e seus meridianos. Seja [tex3]A(p_0)[/tex3] o conjunto das velocidades [tex3]v_0[/tex3] não nulas tangentes à esfera no ponto [tex3]p_0[/tex3] para as quais a partícula descreverá um movimento circular uniforme sobre essa esfera, então:

(a) se p₀ está no equador, A(p₀) é infinito.
(b) se p₀ é um dos polos, A(p₀) é infinito.
(c) se p₀não é um dos polos, A(p₀) é unitário.
(d) se p₀ não é um dos polos, A(p₀) tem dois elementos.
(e) se p₀ não é um dos polos, A(p₀) tem algum elemento tangente a um meridiano.

Resposta

---

C

[Planck]

Olá jotavictor94,

Visualizando a esfera fica mais fácil:

Geogebra online (43).png (64.58 KiB) Exibido 3096 vezes

Para partícula descrever um movimento circular uniforme, com um campo paralelo a [tex3]z[/tex3] é preciso que:

[tex3]\vec v \perp z[/tex3] e [tex3]\vec v \perp \vec F[/tex3]

Desse modo, a força resultante é centrípeta. Dada por:

[tex3]\vec F_{cp}=q \cdot \vec v \times \vec B [/tex3]

Podendo desenvolver para:

[tex3]R_0=\frac{m \cdot v}{q \cdot B}[/tex3]

Se não me engano, a quantidade de vetores velocidade tangentes à esfera será equivalente a circunferência da esfera:

[tex3]2 \cdot \pi \cdot R_0[/tex3]

Para [tex3]p_0[/tex3] cujo a configuração de [tex3]\vec v[/tex3] com [tex3]\vec F[/tex3] e [tex3]\vec v[/tex3] com [tex3]\vec B[/tex3] não seja perpendicular, não haverá movimento circular uniforme, o conjunto será unitário:

[tex3]A(p_0)= \{\varnothing \}[/tex3]

É preciso satisfazer as duas condições:

• [tex3]\vec v \perp \vec B[/tex3]
• [tex3]\vec v \perp \vec F[/tex3]

Referência:
CAMPO MAGNÉTICO. Disponível em <http://fma.if.usp.br/~mlima/teaching/43 ... 2/Cap6.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de 2019.

[jotavictor94]

Para p0p0 cujo a configuração de v⃗ v→ com F⃗ F→ e v⃗ v→ com B⃗ B→ não seja perpendicular, não haverá movimento circular uniforme, o conjunto será unitário:

Acho que houve alguma confusão. A(p0) é o conjunto de velocidades que fazem com que a partícula esteja em MCU. Nesse trecho vc diz que não existe velocidade que faz com que a partícula descreva o MCU, ou seja, nao existe p0 no qual v é perpendicular a B e a F. Por que isso?

Eu consigo visualizar, por exemplo, uma partícula no polo norte da esfera. Considerando B pra cima no eixo Z e usando a regra da mão esquerda, F está no sentido da coordenada vermelha e v está no sentido da coordenada verde. As condições de perpendicularidade são cumpridas e, portanto, existe uma velocidade v0 que está contida no conjunto A(p0).

Talvez eu nao tenha entendido direito a sua solução, mas se possível gostaria que vc esclarecesse essas dúvidas.

[Planck]

Acho que houve alguma confusão. A(p0) é o conjunto de velocidades que fazem com que a partícula esteja em MCU. Nesse trecho vc diz que não existe velocidade que faz com que a partícula descreva o MCU, ou seja, nao existe p0 no qual v é perpendicular a B e a F. Por que isso?

Posso ter exposto mal. O que eu disse foi que, se a partícula for lançada de um [tex3]p_0[/tex3] que não atenda as condições de perpendicularidade, o conjunto será vazio, pois não haverá MCU. Ou seja:

[tex3]A(p_0)=\{ \varnothing \}[/tex3]

Também pode ser dito como conjunto unitário.

Eu consigo visualizar, por exemplo, uma partícula no polo norte da esfera. Considerando B pra cima no eixo Z e usando a regra da mão esquerda, F está no sentido da coordenada vermelha e v está no sentido da coordenada verde. As condições de perpendicularidade são cumpridas e, portanto, existe uma velocidade v0 que está contida no conjunto A(p0).

Exatamente, nesse caso há sim velocidade contida no conjunto [tex3]A(p_0).[/tex3] A solução se baseia em duas condições:

[tex3]\vec v \perp z [/tex3]

E:

[tex3]\vec v \perp \vec F[/tex3]

De tal modo que:

[tex3]\vec F[/tex3] seja uma resultante centrípeta.

Como você disse, nos polos da esfera, há possibilidade dessas condições serem atendidas. No equador também. No entanto, em um ponto distinto desses, apenas uma das condições serão satisfeitas, ou seja, não haverá MCU. A essência do problema você entendeu bem, só há MCU, se, e somente se:

[tex3]\vec v \perp z [/tex3]

E:

[tex3]\vec v \perp \vec F[/tex3]

[jotavictor94]

Como você disse, nos polos da esfera, há possibilidade dessas condições serem atendidas. No equador também. No entanto, em um ponto distinto desses, apenas uma das condições serão satisfeitas, ou seja, não haverá MCU. A essência do problema você entendeu bem, só há MCU, se, e somente se:

É exatamente isso que eu não entendi. Da forma que eu vejo, as condições de perpendicularidade serão atendidas mesmo em alguns pontos fora do equador e dos pólos. Um exemplo está no esboço que fiz e está em anexo. A partícula, nesse caso, faria um MCU em relação a circunferência apontada pela seta (r<R0), ja que as condições de perpendicularidade conferem. Para ficar mais claro, diferentemente do esboço, imagine p0 em um ponto onde F aponte para o centro (força centrípeta), então fará todo sentido a existência de um ponto fora dos pólos ou do equador que atenda as condições de perpendicularidade.

[Planck]

É exatamente isso que eu não entendi. Da forma que eu vejo, as condições de perpendicularidade serão atendidas mesmo em alguns pontos fora do equador e dos pólos. Um exemplo está no esboço que fiz e está em anexo. A partícula, nesse caso, faria um MCU em relação a circunferência apontada pela seta (r<R0), ja que as condições de perpendicularidade conferem. Para ficar mais claro, diferentemente do esboço, imagine p0 em um ponto onde F aponte para o centro (força centrípeta), então fará todo sentido a existência de um ponto fora dos pólos ou do equador que atenda as condições de perpendicularidade.

Geogebra online (52).png (97.28 KiB) Exibido 3061 vezes

Nesse caso, acredito ser uma outra interpretação possível, no entanto, a resultante centrípeta teria a seguinte configuração, com:

[tex3]\vec F \perp \vec B[/tex3]

Geogebra online (53).png (101.49 KiB) Exibido 3061 vezes

Por outro lado, acredito que a proposta do exercício ficou confusa. Para partícula realizar movimento circular ao redor da esfera, é necessário que ela percorra o raio da esfera. Sendo assim, também é necessário que:

[tex3]\vec F \perp \vec B[/tex3]

Desse modo a força resultante aponta para o centro da esfera, que é também o centro do movimento circular realizado. A sua interpretação também está correta, a partícula ira percorrer um paralelo da esfera. O exercício não especificou se a força centrípeta precisa apontar para o centro do movimento ou para o centro da esfera. Algumas condições que vi, apontam que a força magnética (seria nossa resultante centrípeta) precisa ser perpendicular ao campo também, caso queira percorrer [tex3]R_0.[/tex3]

No artigo que usei como base, é dito que:

[tex3]\vec F \perp \vec v, \, \vec B[/tex3]

[jotavictor94]

Muito obrigado pela resposta. Agora entendi perfeitamente.

Realmente o enunciado não ficou muito claro, o que permite varias interpretações, mas a sua acredito que esteja correta. Muito obrigado!

[Planck]

Muito obrigado pela resposta. Agora entendi perfeitamente.

Realmente o enunciado não ficou muito claro, o que permite varias interpretações, mas a sua acredito que esteja correta. Muito obrigado!

Qualquer dúvida, só perguntar!